Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
139* ных системы отсчета. Однако ни значения динамических переменных системы отсчета, ни ее мировые линии не известны вне-начальной гиперповерхности. Мировые линии системы отсчета неизвестны до решения задачи Коши даже в том простейшем случае, когда они являются геодезическими, а базисные частицы системы отсчета — свободными пробными. Событие мира вне начальной гиперповерхности, принадлежащее той мировой линии, которая пересекает начальную гиперповерхность в заданном событии,, определяется метрикой мира вне начальной гиперповерхности, и может быть найдено только после решения задачи Коши. Поэтот му кажется естественной такая постановка задачи Коши, при решении которой не только восстанавливается метрика мира, но и система отсчета — конгруэнция ее мировых линии и ее динамические переменные,— в которой заданы начальные значения. В корректной формулировке задачи Коши необходимо задать (измерить) на начальном многообразии сої значения 4-вектора скорости вещества системы отсчета или единичный касательный к мировым линиям моллюска 4-вектор и распределение массы покоя , а их значения бнє o>i определить из совместного
решения уравнений Эйнштейна и уравнений движения всей материи, включая уравнения движения вещества системы отсчета^ Четырехвектор u*s) элементов системы отсчета, в которой изме-г ряются начальные значения h.^ и a>/Jk^, алгебраически выражается через ^0a (1.48), а компоненты их абсолютного ускорения
w*s) — через векторы р или л (1.53), поэтому уравнения движения (1.22) элементов системы отсчета принимают вид
SoiSok] Jb , p(S) р- п
—J^J p^ •+ Г=їГ (• }
IV, о = - P4w,,+4IV) (1ZT - •)' (L 178б>
Вектор р, по определению (1.50 а), содержит g0l0, поэтому уравнения (1.178 а) можно присоединить к уравнениям Эйнштейна для нахождения функций g0i вне начального многообразия, если на нем заданы значения g0,j В уравнении же для определении
goo вне сої нет надобности, так как, согласно лемме 5, в любой системе отсчета преобразованием только х°-координаты, не изменяющим начальных данных А,. и w , можно получить ^00 =
=—1. Для этого достаточно использовать в качестве временной координаты события моменты собственного времени, измеряемого в окрестности события. Предположим поэтому, что в многообразии введены координаты (т, хк), в которых goo=—1. Тогда
140* уравнения (1.178) можно разрешить относительно g0l а е* и за лисать
Функции Ф(.} и Ф зависят от величин, определенных на многообразии семейства, и их производных на многообразии, но не вдоль нормали к нему. Уравнения (1.179 а) определяют значения функций goi вне сої и одновременно формируют мировые линии моллюска Эйнштейна, а (1.179 6)—распределение плотности вещества системы отсчета.
Система уравнений Эйнштейна (1.165), (1.166) и (1.175) вместе с присоединенными к ним уравнениями (1.179) составляет теперь полную систему уравнений для метрики мира. Если к ним добавить уравнения движения остального вещества, уравнения его состояния и уравнения электродинамики, то получим полную систему уравнений мира (Арифов, 1978; подобную же формулировку задачи Коши в частном случае космологической проблемы предлагает и Агаков, 1981).
Задача Коши. Пусть в многообразии {т, хк} задано семейство u) (т, хк) = const. Требуется найти функции A/A, <d/a, gol и IjW удовлетворяющие уравнениям (1.165), (1.166). (1.175) и (1.179); и динамические переменные вещества и электромагнитного поля, удовлетворяющие остальным уравнениям полной системы уравнений мира, которые на начальном многообразии (D1 принимают заданные значения , <d/A| , и \x{S)( и значе-
ния данных Коши динамических перемен сых и электромагнитного поля.
Доказательство существования и единственности решения задачи Коши в такой формулировке встречает определенные трудности, хотя все уравнения и записаны в форме, разрешенной относительно высших производных вдоль нормали к многообразиям семейства. Это связано с тем, что доказательство с самого начала необходимо проводить в классе неаналитических функций. Корректная постановка задачи Коши для уравнений Эйнштейна в принципе не позволяет рассматривать ее вне вещества (по крайней мере, вне вещества системы отсчета), а функции, описывающие вещество, как правило, терпят разрывы на некоторых поверхностях. Тем не менее, если наложить жесткие условия на функции, описывающие вещество системы отсчета, то формальное применение теоремы Ковалевской к области мира вне остального вещества позволяет сделать выеод о существовании и един-
Sot.ае* = %)(l\sy PaiIr Kv ttW = «W р%у SW А*„; <¦>*„; Р%) = р%> (*v>)-
(!)
(1.179а) (1.1796) (1.179b)
141* ственности решения задачи Коши в классе аналитических функций. Можно надеяться, что такое доказательство существует и для класса более реалистических функций.
Теорема 30. Решение задачи Коши в классе реалистических функций существует и оно единственное.
Следствие 12. Движение, и в частности абсолютное ускорение, системы отсчета не может быть задано наперед, но определяется, движением и распределением массы остального вещества в мире, начальным распределением массы вещества системы отсчета, его термодинамическим состоянием и начальными значениями метрического вектора а (или g0i), а также внутренней и внешней геометриями начальной пространственноподобной гиперповерхности.
