Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Полное описание физической системы предполагает так или иначе оперирование с проекциями четырехмерных величин на физическое пространство / = Const и временную ось и сопоставление их с наблюдаемыми в эксперименте. Поэтому изложение релятивистской геометрической оптики на языке трехмерных наблюдаемых представлялось бы обоснованным и необходимым даже в том случае, если бы в нем не была заложена, как указывалось выше, потенциальная возможность предсказать конкретные оптические эффекты. Причем выражение закономерностей геометрической оптики в терминах трехмерных наблюдаемых вовсе не означает их неинвариантности относительно переходов от одной системы отсчета к другой. Напротив, поскольку нигде не фиксируется специфика той или иной системы отсчета, за исключением тех случаев, когда специально рассматриваются конкретные, например, вращающиеся системы отсчета, а исследуются процессы в про-
156* извольной системе отсчета, то и формулируемые закономерности релятивистской геометрической оптики инвариантны относительно любых преобразований системы отсчета. Здесь имеет место скрытая инвариантность формы, в отличие от явно инвариантной четырехмерной формы.
§ 21. ПРИНЦИП ФЕРМА
Пусть кривая С задана в пространстве параметрически
JCi = Ari(X), / = 1,2,3, (IU)
так что для двух заданных точек Mx и M2 выполняются условия Xі (X1) = Xі (Ml)j Xі (X2) = Jci(Af2). (II.2)
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
? = I'+ /(M^yirEr) (П.За)
с начальным условием
t(K) = tu (11.36)
где ^i — вектор, касательный к кривой С:
Ф, ах и hik — скалярное, векторное и тензорное метрические ПОЛЯ соответственно, являющиеся известными функциями пространственных координат Xі и времени t.
Лемма 22. Для всякой пространственной кривой С, проходящей через заданные точки Mi и M2f и заданного начального условия (II.3 6) существует одна и только одна изотропная мировая -линия, удовлетворяющая дифференциальному уравнению (П.За), такая что P2 (/(X2), M2) > Px (t (X1), M1), если X2*>At.
Доказательство. Уравнение (П.За) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для неизвестной функции t от аргумента А,, разрешенное относительно производной, если в него подставить параметрические уравнения кривой С. Его решение существует и оно единственное для заданного значения t(K\):
t = t(K К; С). (IU)
Решение (II.4) вместе с уравнениями (IU) кривой определяет мировую линию. Вдоль нее интервал ds, определяемый формулой (1.127), равен нулю. Так как правая часть (II.За) всегда положительна, то из X2 > X1 следует t (X2) > /(X1)1 т. е. событие ^2 ('(Mt M2) лежит в будущем относительно события
Pi(t(Kh Mi).
157* Обозначим правую часть (11.3а) через F[t\ х*(Х); ^f(X)) и рассмотрим кривую С в окрестности С, уравнения которой можно записать в виде _
Jci = JCi(X) + ^ (X),
где Ьх! (X) — малые функции.
Лемма 23. Изменение значения функции, удовлетворяющей уравнению (II.За), в области [Xu X] изменения аргумента с точностью до бесконечно малых второго порядка выражается формулой
X \
dF
V, С) = Ы(ки X1; С) exp ( J 0^dX J + ^-Sx'l,-
xfiC- -iL (ii.5)
\dxl dl ді1 dl' dt ) '
для любого малого отклонения кривой С.
Кривой С соответствует решение t (х, x1; с), мало отличающееся от t(l, x1; С). Обозначим *
З/(x, x1; С) = Г(х. X1; С) — / (>., X1; С),
О;
Имеем с точностью до бесконечно малых второго порядка F(T; х'(\); Г (X))= F{t; X1(I); Є*<Х>) + d^bt + 5хг+ jf Воспользуемся теперь уравнением (II.За) и получим
™ ^bt =-Ц-Ъх1+-^rK1. (II.6)
d\ dt дхі ^ fti v '
dF dF dF
Если в величины -, —т- и —т-подставить уравнения изотроп-
dt дх д?
ной мировой линии, удовлетворяющей (Н.З) для кривой С, то для заданных функций Sxi(X) малого отклонения кривой неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение (Н.6) определяет искомую функцию Ы. Его общее решение представляется формулой (II.5). Постоянная интегрирования Ы (X1, X1; С) равна разности начальных значений решений уравнения (И.За) для кривых С и С соответственно.
158* Решение уравнения (П.За) называется стационарным в точках Af1 и M21 если для любых пространственных кривых из окрестности кривой С, проходящих через эти точки, и фиксированного начального значения /(X1) функция /(X2t X1; С) имеет с точностью до бесконечно малых второго порядка одно и то же значение. Кривая, для которой решение уравнения стационарно в точках Mi и Af25 называется экстремальной: Пусть кривая С принадлежит окрестности С и проходит через точки Mi' и Af2. Тогда Zxi(Ii) = Zxi(K2) = O. Из определения следует, что 8/ (X2t X1; С) = 0 в том и только том случае, если кривая С экстремальная, а Ы (X1, X1; С) = 0. Применяя к этому случаю лемму 23, приходим к выводу, что экстремальная и только экстремальная кривая уравнения (П.За) удовлетворяет трем обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка
* OP OF OF OF_ = 0 (П 7)
d\ dt1 dt o?' дх1
Таким образом, система трех уравнений (II.7) вместе с (П.За) определяют единственную изотропную мировую линию, проходящую через заданные точки, причем через одну из этих точек — в заданный момент времени. Нетрудно убедиться непосредственно, что система (II.7) и (П.За) эквивалентна уравнениям изотропной геодезической линии (1.16), т. е. в координатном выражении совпадает с ними. Поэтому имеет место теорема, выражающая принцип Ферма (Арифов, 1973 б) в теории относительности.
