Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что теорема 34 является по сути, своеобразной формой применения теоремы Нётер* (Noether, 1918). Действительно, если использовать выражение Гильберта для тензора энергии-импульса через вариационную производную действия физической системы по метрическому тензору, то из инвариантности действия относительно группы движения мира следуют сразу же как уравнения (1.19), так и уравнения непрерывности (1.180) для 4-вектора (—7* tvSv j. Последнее и есть равенство нулю дивергенции в
частных производных, в соответствии с теоремой Нётер.
Если в мире не существует векторов Киллинга, а в общем случае неоднородных и неизотропных миров так оно и есть, то говорить о законах сохранения механических величин вещества и излучения не приходится. Уравнения движения (1.19) нельзя преобразовать так, чтобы дивергенция тензора энергии-импульса в частных производных была равна нулю. Поэтому считается обычно, что для формулировки интегральных законов сохранения необходимо к Tfjtv присоединить энергию и импульс гравитационного поля Последние часто называют квазитензором энергии-им-
пульса поля тяготения. Предполагается, что дивергенция • в частных производных суммы Tiv -f Bixv во всех системах отсчета равна нулю, поэтому полная энергия, полный импульс и т. д. всегда подчиняются законам сохранения. Величины Giav действительно существуют и даже представлены многими формами метрического тензора и его производных. Поиску и формулировке законов сохранения в теории относительности посвящены работы Эйнштейна (1916, 1918), Мицкевича (1969), Мёллера (1975) и др. Детальный анализ этой проблемы с обсуждением самых разных подходов ее решения дан в книге Мицкевича (1969).
Если квазитензор энергии-импульса гравитационного поля выражается только через метрический тензор и его первые производные, т. е. не зависит непосредственно от кривизны мира, то он, вообще говоря, отличен от нуля в мире Минковского, что, очевидно, лишено смысла, так как в мире Минковского отсутствует поле тяготения. Если же 6^v зависит от кривизны мира, то энергия и импульс гравитационного поля содержат вторые производные метрического тензора, т. е. выражаются не только через дан-.ные Коши физической системы, а законы сохранения уже не играют своей ограничивающей эволюцию системы роли. Обращение же к неортодоксальным «языкам» теории — тетрадный, матричный, двуметрический формализмы — сопряжено с существенным недостатком другого рода: принципиальным отсутствием единст-
16 О теореме Нётер см. Полак, I960; Боголюбов, Ширков, 1957.
150* венности. Вообще, при обсуждении проблемы сохраняющихся величин представляется необходимым учитывать некоторые специфические стороны этой проблемы, обусловленные физической корректностью (или некорректностью) ее постановки.
Во-первых, интегральные величины не принадлежат так же физической системе, как их плотности. Например, если о плотности импульса можно сказать, что она в известном смысле существует в природе — плотность импульса (импульс) принадлежит элементу среды (частице) и переносится вместе с ним (ней) от события к событию мира,— то полного импульса, вообще говоря, не существует, как не существует и точки его приложения (в месте положения центра масс вообще может не быть никакой части физической системы). То же относится и к другим интегральным величинам, не являющимся просто числом, как, например, число частиц. Поэтому интегральные законы сохранения таких величин являются модельным построением теории, приспособленным к условиям классической физики — к аксиомам однородности мира и существования инерциальных систем отсчета,— и не всегда адекватным природе. С нарушением однородности мира это модельное построение теряет под собой почву. Возможность же введения «законов сохранения», слабых и сильных, выполняющихся вследствие уравнения поля и движения или независимо от таковых, не связана (или не всегда связана) с какими-либо глубокими пространственно-временными свойствами мира. Это можно видеть на примере теоремы Нётер. Теорема в том виде, как она предложена Нётер, утверждает существование равенств или тождеств типа уравнения непрерывности, если функционал (действие физической системы, например) инвариантен относительно некоторой группы преобразований, в частности группы движения пространства-времени. При этом число равенств равно числу параметров группы. Но теорема Нётер формально верна и в том случае, если рассматривается инвариантность функционала относительно произвольной группы преобразований координат— не движения. Фактически при этом используется не инвариантность формы функционала — условие теоремы Нётер,— а инвариантность значения или ковариантность формы, а это совсем не то же самое. Тем не менее из формального применения теоремы Нётер, а именно в такой форме она применяется в общей теории относительности, также следуют равенства типа уравнений непрерывности, но их физический смысл не глубок.
В этой ситуации можно вспомнить замечание В. А. Фока об отсутствии глубокого физического смысла ковариантности уравнений физики, в отличие от их инвариантности (хотя определенное значение ковариантности для формулировки законов физики в разных системах отсчета не отрицается). Если уравнения не ковариантны относительно какого-либо преобразования, то всегда с помощью некоторых дополнительных функций, введенных для этой цели, можно сделать эти уравнения ковариантными. Но
