Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 36. Если тензор T1et3 равен нулю на S и на одной из границ T1 или Г2 области D и отличен от нуля на Г2 или T1 соответственно и в их окрестности, принадлежащей D, то он не удовлетворяет условиям энергодоминантности.
Доказательство. Пусть Га3 = 0 на 2 и T1 и Ta^ ф0 на Г2. Тогда можно построить функцию /, удовлетворяющую уравнению (1.203) в окрестности Г2 и во всех частях D9 в которых Tol^ ф 0. В остальных частях Di где Та? = 0, функция / произвольна, отлична от нуля, и достаточно гладкая. Если T^ep—не-пространственноподобный не во всех точках вектор, то в качестве начальной гиперповерхности для построения следует взять гиперповерхносгь, ни в одной своей точке не содержащую Tryx^. В этом случае уравнение (1.203) снова разрешается относительно нормальной производной и существование его решения при заданных начальных значениях обеспечено.
Интегрируя теперь (1.204) по D9 получаем
J =
<г2)
Следовательно, в некоторых точках Г2. Аналогично, если
^ct? — 0 на Г2 и Т^ф 0 на Tv то Ш<0 в некоторых точках T1 . Поэтому Га? не удовлетворяет условиям энергодоминантности.
Представляется справедливой и другая обратная теорема.
Теорема 37. Если симметричный тензор второго ранга не удовлетворяет условиям энергодоминантности, то существует такая область D мира, в которой он равен нулю на 2 и Гі (или Г2), но отличен от нуля на Г2 (или Гі).
Доказательство этой теоремы явилось бы одновременно доказательством и того, что любой физически значимый тензор энергии-импульса должен удовлетворять условиям энергодоминантности. Глава II
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
§ 20. МЕТОД И ЗАДАЧИ
Под релятивистской понимается геометрическая оптика теории относительности — специальной и общей,— причем оптическая среда, наблюдаемые и приборы связаны или относятся к произвольной системе отсчета. Частным случаем оптической среды является ее отсутствие — геометрическая оптика в вакууме. Строго говоря, законы геометрической оптики следует выводить из уравнений Максвелла—Лоренца (1.7) и уравнения движения электрических зарядов (1.8), анализируя электромагнитное поле в приближении больших частот, с одной стороны, и исследуя оптические свойства среды как результат усреднения по малому, но макроскопическому объему,— с другой. В такой постановке эта задача достаточно сложна даже в простейшем случае, когда оптическая среда покоится в инерциальной системе отсчета, и сводится к тем или иным модельным и полуфеноменологическим представлениям. Поэтому даже те общие законы и теоремы, которые можно получить не обращаясь к уравнениям электродинамики, а основываясь только на уравнениях распространения характеристической гиперповерхности и изотропной геодезической, представляющей мировую линию луча света, имеют определенную ценность. Здесь удается строго сформулировать принцип Ферма для распространения волны в вакууме со всеми вытекающими из него следствиями, а это уже открывает прямой путь к обобщению принципа Ферма на оптическую среду и получению некоторых закономерностей распространения волны в среде, поддающихся прямой экспериментальной проверке.
Другая причина, заставляющая сосредоточить внимание на геометрической оптике сразу же за основами теории относительности, кроется в принципиальных соображениях. Из анализа основных положений вытекает, что для полного описания физической картины мира необходимо иметь средства и метод, по крайней мере в принциде, для измерения, помимо метрического тензора мира, еще и метрического вектора. Существованию последнего физически отвечает анизотропность скорости света. Неустрани-
155* мость его в несинхронных системах отсчета никакими преобразованиями координат означает, что анизотропность скорости света существенна и неуничтожима в данной системе отсчета. Она может быть уничтожена только переходом от данной несинхронной к любой синхронной системе отсчета. Метрическое векторное поле вполне определенным образом должно проявлять себя в наблюдаемых явлениях, в первую очередь, через анизотропность скорости света в оптических, поэтому не составит труда отыскать в оптических явлениях принципиальный метод его измерения. Ясно, что и с точки зрения технической измеримости наибольшие возможности дают также оптические явления.
К вопросам геометрической оптики в теории относительности обращались многие авторы. Достаточно указать на специальную главу в монографии Синга (1963), в которой наиболее последовательно излагается большинство результатов, полученных ранее. Необходимо отметить в связи с этим, что предлагаемую ниже геометрическую оптику отличает не только фактический материал, как например, принцип Ферма и его обобщение на оптическую среду, или законы отражения и преломления лучей на границе, и не столько фактический материал. Самое существенное отличие заключается в том, что все изложение геометрической оптики ведется здесь на языке «трехмерных» понятий и наблюдаемых величин, что позволяет получить не только ясную физическую картину, но и, главное, предсказать новые принципиально наблюдаемые оптические эффекты. К ним относятся, например, эффекты, в которых анизотропность скорости света должна специфически обнаруживать себя, такие как зависимость длины волны от направления, отличие законов отражения и преломления от законов Снеллиуса и др. Оставаясь в рамках четырехмерного описания законов геометрической огпики, в принципе нельзя ни получить необходимые формулы, ни тем более предсказать такие из наблюдаемых эффектов, которые связаны с положением лучей в трехмерном физическом пространстве.
