Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
ветствии с
условием теоремы I =z (hlk a
вместе с
hik] должны удовлетворять (1.165). Возьмем снова в качестве-
137* gik xn) решение (1.166) и (1.175), принимающее при выбранных gQa значения A^k и ^[-"Г на wP тогда мет"
рика (1.177а) является решением уравнений Эйнштейна.
Выберем теперь ^0a, как в (1.1776). Подставляя данные Коши в (1.175), получаем u>ik на W1. Значения зависят еще от значений четырех произвольных функций / и Jrl и их производных яа со которыми можно распорядиться так, чтобы вместе с данными hlbi удовлетворяли (1.165). Это всегда можно сделать.
Например, если ft = 0, a Ф 0, то снова равны данным
Коши -тг (hlk а , поэтому они вместе с hlk^ снова удовлетворяют (1.165), так как вне вещества правая часть уравнений (1.165) обращается в нуль, а левая зависит только от Hik^ и . Возьмем в качестве gik[x/0, решение уравнений (1.166) и (1.175), принимающее на ^1 значения данных Коши и полученных
. Тогда метрика (1.1766) также является решением уравнений Эйнштейна, соответствующим тем же данным Коши, но не-приводима к (1.177а). Теорема доказана.
Следствие 10. Заданных значений коэффициентов первой и второй квадратичных форм начальной гиперповерхности или коэффициентов первой квадратичной формы и их производных вдоль нормали к начальной гиперповерхности недостаточно для единственности решения уравнений Эйнштейна с точностью до общего лреобразования координат.
Следствие 11. Координатные условия, произвольно присоединяемые к уравнениям Эйнштейна, произвольно же ограничивают их решения таким образом, что из множества неприводимых друг к другу решений, удовлетворяющих одним и тем же начальным значениям hik и ^ik на начальной гиперповерхности, отбираются только те (или то), которые удовлетворяют еще и координатным условиям.
Следовательно, при доказательстве существования и единственности решения задачи Коши или при фактическом интегрировании уравнений Эйнштейна координатные условия не только не необходимы, но даже недопустимы в общем случае. Можно вскрыть физический смысл теорем 28 и 29, если обратить внимание на следующее. Каждому семейству пространственноподобных гиперповерхностей принадлежит конгруэнция мировых линий, ортогональных к ним в каждой точке. На этих мировых линиях, находится ( или может находиться) наблюдатель, абсолютное ускорение которого Wa равно еа? Оно подчиняется уравнениям
138* движения в метрическом поле, определяемом уравнениями Эйнштейна, и априори ие известно ни на начальной гиперповерхности, ни тем более вне ее. Однако координатные условия и являются именно теми связями, которые совершенно произвольно накладываются (по крайней мере, частично) на абсолютное ускорение этого наблюдателя. Использование координатных ус* ловий, соответствующих нормальным гауссовым координатам, например, равнозначно требованию, чтобы абсолютное ускорение наблюдателя, мировая линия которого ортогональна к гиперповерхностям данного семейства, непременно было равно нулю. Координатные же условия, соответствующие гармоническим координатам, напротив, требуют применительно к тому же семейству, чтобы абсолютное ускорение того же наблюдателя было отличным от нуля. Действительное же его значение хотя и вполне определенно, но, как уже отмечалось, априори не известно.
Поэтому к начальным значениям hlk и ^ik на начальном многообразии семейства необходимо присоединить и другие начальные данные, чтобы решение было единственным. Ими могли бы быть, например, значения единичного вектора нормали еа на «ь Тогда, если на мировых линиях, ортогональных к заданному семейству, существует вещество, то уравнения его движения можно было бы использовать для нахождения еавне сої. Задание е на ©і соответствует заданию 4-вектора скорости элементов этого вещества, а абсолютное их ускорение определяется из совместного решения уравнений поля и движения. В общем случае, однако, ортогональные к семейству мировые линии могут оказаться пустыми, и тогда задание еа на сої как 4-вектора скорости вещества не может быть реализовано. Но всегда можно использовать для получения дополнительных начальных данных мировые линии моллюска Эйнштейна или системы отсчета. Данные Коши в физической задаче представляют собой в самом общем случае совокупность результатов тех или иных измерений, поэтому формулировка задачи Коши корректна с физической точки зрения только тогда, когда предусмотрена принципиальная возможность измерения используемых в задаче данных Коши и учтено возможное влияние процесса измерения на решение.
Измерение начальных данных hlk и ^jtt на начальном многообразии предполагает, согласно теореме 11, существование непустых мировых линий, проходящих в идеальном случае через каждое событие начального многообразия. Пренебречь в общем случае влиянием массы вещества, принадлежащего этим мировым линиям, и его движения на искомую метрику мира нельзя. Нельзя также задать наперед движение этого вещества или, что то же, форму мировых линий моллюска Эйнштейна. В процессе измерения метрики на начальной гиперповерхности указывается (или может быть указана) базисная частица или элемент системы отсчета и измеряются начальные значения динамических перемен-
