Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Равенства (1.53) позволяют дать простой способ измерения абсолютного ускорения тела и относительно той системы отсчета, в которой оно покоится. Для измерения ускорения в этом случае достаточно измерить метрический тензор мира и составить из его компонентов векторы в соответствии с формулами (1.50).
Теорема 13. С физической точки зрения движение тела определяется тремя элементами: положением тела, его скоростью и ускорением. Положение и скорость тела являются относительными величинами, имеющими смысл только относительно заданной системы отсчета, их значения существенно зависят от системы отсчета, в которой они измеряются. Ускорение тела является абсолютной величиной, смысл и значение которой не зависят от системы отсчета. Направление абсолютного ускорения определяется в заданной системе отсчета вектором W19 а его абсолютное значение равно модулю 4-вектора ускорения. В собственной системе отсчета, относительно которой тело покоится, абсолютное уско-
72 рение тела параллельно вектору я, квадрат абсолютного значения ускорения совпадает со скалярным произведением векторов
р и я, а измерение ускорения сводится к измерению метрики мира. § 8. КООРДИНАТЫ ШЕРМИ
В теории относительности широко используются различные специальные системы координат. К ним относятся геодезические в точке, римановы, нормальные (Петров, 1961), полугеодезические или нормальные гауссовые (Сакс, 1966) и др. Для решения некоторых задач удобны специальные координаты, которые будем называть координатами Ферми (в частном случае они являются геодезическими вдоль заданной кривой, впервые введенными Ферми).
Пусть в произвольных координатах некоторая неизотропная кривая j задана параметрическими уравнениями ха = ха(з). Предположим для определенности, что кривая временноподоб-ная. Введем в каждом событии кривой четверку ортонормиро-ванных векторов (тетраду) Ua1 (латинский индекс в скобках нумерует 4-векторы Г). По определению
и\ = - 1, и\)а = О,
П. 1 =
Рассмотрим степенную функцию трех независимых аргументов Z1 л" = X* (о) + Z1--Ir Г («) % %\п) ZkZ*+..., (1.55а)
определенную в каждом событии f, и положим
Z0 = а. (1.556)
Эта функция осуществляет отображение каждого набора чисел za [ Z09 Z1} на множество событий {ха}, поэтому (1.55) можно интерпретировать как преобразование координат Ферми z в координаты Допустимость такого преобразования легко доказать. Действительно, уравнение заданной кривой 7 в координатах Ферми имеет вид Zi = Ot поэтому из (1.55а) следует
S1i = ^M. Sli = *. О»)
Так как 4-векторы тетрады линейно независимы, то детерминант матрицы преобразования отличен от нуля на у, а в силу непрерывности отличен от нуля и в окрестности у. Следователь-
73 Sv^1
но, уравнения (1.55) однозначно разрешимы относительно Za по крайней мере в малой окрестности у и допускают обратное преобразование Xа Z.
Координаты Ферми имеют следующие полезные для их применения свойства.
1. Начало системы координат перемещается вдоль заданной мировой линии Y» а временная ось совпадает с осью собственного времени на Y-
Z11 =0, Z = т,4- const.
it it
2. Вдоль у метрический тензор мира приведен к каноническому виду
1, [A = V= O,
0, {X ф V,
1, [X = V=I, 2, 3,
поэтому его частные производные любого порядка по временной координате равны нулю вдоль y-
3. Первые производные метрики на у удовлетворяют равенствам
*<ни,т = -2®,. (1.57а)
= (1.576)
{Son. м- Sok. „)т = 2Xltn ,т. (I.57B)
Slk, я|т ~ Q- (I-SZr)
Используя формулы преобразования компонентов символов Крис-тоффеля 2-го рода, можно показать, что в координатах Ферми
Tilli=O. (1.60)
Из (1.60) сразу же следуют (1.576 иг), а из (1.49), (1.50) и (1.53) — (1.57 а и в), если применить к ним второе свойство координат Ферми.
4. Вторые производные временного компонента метрики выражаются формулой
«им* it = -2i^oiok+wiwu-xinxk)^ (1-61)
74 Ее легко получить, имея в виду второе и третье свойства координат Ферми и явное выражение тензора Римана—Кристоффеля через вторые производные метрики.
Перепишем равенства (1.59) в удобном для анализа виде. Учтем при этом, что
4 = (1.62)
дх It ^ IT
Четырехвекторы совпадают с 4-векторами ?(0а, но порядковые номера их записаны вверху для соблюдения правила сумм. Последние равенства следуют из (1.56). И, наконец, подставляя в формулы преобразования векторов тетрады все необходимые величины и учитывая (1.54), получаем выражения для векторов тетрады в координатах Ферми:
Ua {1,0,0,0), =8' = (1.63)
Имеем теперь
^,=-"?1 = ?. с-64-)
г —-Li р ^bl_? — (]
1O*,^- 2 \ К(п)* Ba К(Ь)* Sa ) ~~ ^kn Iy' (I-OO)
Ортонормированная тройка векторов испытывает враще-
ние при перемещении вдоль заданной мировой линии у. Это вращение разлагается на две составляющие: вращение в пространственно-временной плоскости и чисто пространственное вращение. Первая составляющая вращения определяется проекцией на у приращения этих векторов при смещении вдоль Y и, как это видно из (1.64), совпадает с первой нормалью у или абсолютным ускорением частицы, которой принадлежит мировая линия у. Вторая составляющая определяется проекциями их приращения на 4-век-
