Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Способ измерения на мировой линии исследуемой частицы функции 1(х) как интервала между событием на этой мировой линии в момент т и другим событием, фиксирующим положение вспомогательной частицы, описан в § 5. Необходимо только иметь в виду, что 4-вектор, определяемый событиями этого интервала, ортогонален мировой линии исследуемой частицы. Для учета этого обстоятельства необходимо воспользоваться леммой 8.
Лемма 8. Если P1 < P0 < P2 — последовательность событий на мировой линии, а события Px и P3, P1 и P2 попарно связаны световыми линиями (рис. 1, случай 2), то равенство
ЧРи Po) = PJ является необходимым и достаточным условием ортогональности 4-вектора (P0Pz) к мировой линии.
Повторяя рассуждения, использованные в § 5, для проекции пространственноподобного 4-вектора (P0Ps) на мировую линию
получаем значение [т (P1, P0)- *(Р0, Л*)]» из которого и следует доказательство утверждения.
Предположим, что с мировой линии исследуемой частицы непрерывно посылаются и регистрируются отраженные от вспомогательной частицы световые сигналы. Обозначим через т7 и t" моменты посылки и регистрации отраженного сигнала соответственно. Тогда формулы
2 5
т' -f -Z*
(1.74)
выражают искомую функцию через значения измеряемого на мировой линии собственного времени.
6-14
81 В случае произвольного движения вспомогательной частицы, когда -J-вместо (1.72) имеет место другая формула —
в которой равенство выполняется тем лучше, чем меньше Tq. Из четырех чисел Iа в формуле фигурируют на самом деле только три числа
поскольку Wq и /° равны нулю. Функции /?(х) выражаются через значения собственного времени, измеряемого на исследуемой частице, аналогично функции /(т).
Следовательно, измерение абсолютного ускорения сводится к сопоставлению промежутков собственного времени между каки-ми-либо двумя событиями мира, измеренных на двух пересекающихся в этих событиях мировых линиях.
Теорема 17. Если мировая линия вспомогательной частицы, движущейся линейно относительно наблюдателя (или прибора), пересекает мировую линию наблюдателя в двух событиях, то проекция абсолютного ускорения наблюдателя на направление движения вспомогательной частицы равна пределу отношения разности промежутков собственного времени вспомогательной частицы и наблюдателя между этими событиями к произведению среднего расстояния между наблюдателем и вспомогательной частицей на промежуток собственного времени наблюдателя,, когда последний стремится к нулю. В случае произвольного движения вспомогательной частицы абсолютное ускорение наблюдателя определяется формулой (1.75). Измерение абсолютного ускорения сводится к измерениям промежутков собственного времени на мировой линии наблюдателя и измерению одного промежутка собственного времени вспомогательной частицы, производимому непосредственно в событиях пересечения мировых линий наблюдателя и вспомогательной частицы.
§ 10. ИЗМЕРЕНИЕ КРИВИЗНЫ ФИЗИЧЕСКОГО МИРА
Кривизна, как и другие геометрические свойства физического мира, определяется метрикой, и может быть вычислена по соответствующей формуле постольку, поскольку метрический тензор измерен в окрестности каждого события мира. Однако в ряде случаев возникает необходимость измерения кривизны непосредственно физическими методами без обращения к измерению метрики. Например, в решении проблемы оснащения мира эта-
(1.75)
т.
(1.76)
82 лонами собственного времени предполагается, что хотя бы в принципе такой метод существует. Идею одного из методов измерения кривизны указал Вигнер (Wigner*, 1957).
Теорема 18. Пусть -уі и у2 — временноподобные геодезические; Pu р2, Pq и P9-события на Ть a P3, P5 и P7- события на ?2 такие, что P1 и P3, P3 и P2, P2 и P5, P5 и P6, P6 и P7 и P7 и P попарно связаны световыми линиями, и пусть т (P1, P2) = T1S •с (P2, P6) = T2, T (Pe, P9) = T3. Если P0 — событие на Ifl такое, что.
Po) — х (^о* Л) =а е" — единичный 4-вектор в направлении 4-вектора (P0P3), то имеет место формула
= 16 Ті (ті + Т2) (тз Y Зтз) (Ті + 2тз + ^y - — ^sr, (1.77)
связывающая кривизну мира в P0 с измеряемыми на Yi проме» жутками собственного времени.
Для вывода формулы (1.77) воспользуемся уравнением деви* ации геодезических (Levi-Civita, 1927; Синг, 1963). Рассмотрим двупараметрическое семейство геодезических х1Х (a, v), включаю^ щее Yi и Y2 (сг— канонический параметр вдоль геодезических, v — параметр, постоянный на каждой геодезической семейства). Введем обозначение
и. дх* M а
W = -^r, W = Weli-.
Тогда уравнение девиации можно записать в виде
= (1.78)
Поместим в P0 начало римановых координат уа и разложим
произвольный тензор Aa \"аРг в ряд Тейлора в окрестности P0.
?.. .?
Заменив частные производные на ковариантные и положив, согласно определению римановых координат (Петров, 1961),
? <
вследствие чего ковариантные производные в каждом члене ряда Тейлора вместе с соответствующими сомножителями образуют абсолютные производные, получим формулу
* Эта работа Вигнера содержит ошибку, которую он исправил позднее (1960) и получил правильную формулу для кривизны в случае, когда мировые линии частицы и зеркала параллельны в евклидовом приближении, или когда относительная скорость частицы и зеркала (по терминологии Вигнера) близка к нулю.
