Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть положение тела в данный момент — событие P — представляется четырьмя числами-координатами (х°, х1, х2, х3). Вообще говоря, эти числа сами по себе еще не определяют событие Pt так как одна и та же четверка чисел, отнесенная к различным моллюскам отсчета, определяет различные события. Выделим в заданной системе отсчета некоторое событие Р, которое в той же координатной сетке представлено четырьмя числами х1, х2, х3). Тогда 4-вектор (PP) и определяет положение тела в заданной системе отсчета. В другой системе отсчета выделенное событие
P (x°t X1f X2t X3) отличается, вообще говоря, от события Pf поэтому
и 4-вектор (PP), определяющий положение тела в ней, отличается от 4-вектора (PP). Таким образом, положение тела является относительным не из-за произвольности координат события, а
67 из-за различия 4-векторов, определяющих событие в разных системах отсчета. Координаты события остаются произвольными даже в одной и той же системе отсчета, тогда как положение в этой системе отсчета фиксируется вполне однозначно.
Вообще говоря, следует различать системы координат (или координатные сетки) и системы отсчета. Система координат есть определенное соотнесение чисел событиям мира — арифметизация* пространства (Веблен, Уайтхед, 1949). Но это соотнесение приобретает смысл, если указана система отсчета, в которой оно производится. В каждой заданной системе отсчета можно по-разному соотносить событиям мира четверки чисел, т. е. вводить различные координатные сетки и временные оси. Поэтому в заданной системе отсчета возможны преобразования координат (Зельма-нов, 1956)
^ =^ И. ТБ?- = 0. (1.45)
Множество всех координатных сеток, связанных преобразованиями группы (1.45), относится к одной и той же системе отсчета. Разные системы отсчета отличаются состоянием движения. Переход от одной системы отсчета к другой осуществляется в общем случае следующими формулами:
^1W1 (*¦), ^r ФО. (1.46)
Преобразования (1.45) и (1.46) являются подгруппами общей группы
х'11 = je'* (jca), (1.47)
относительно которой основная квадратичная форма мира инвариантна, а уравнения Эйнштейна и остальные уравнения физики ковариантны.
Лемма 4. В каждой заданной системе отсчета три пространственных контравариантных компонента произвольного 4-векто-ра Vа являются контравариантными компонентами вектора, а ве-
Pni _
личины Vi--V0 и V0/ V — ^00, составленные из его ковари-
антных компонентов, — соответственно ковариантными компонентами вектора и скаляром.
Доказательство. Допустимые преобразования координат, не изменяющие заданной системы отсчета, ограничиваются, по определению, группой (1.45). Применив к ней формулы преобразования компонентов 4-вектора и метрического тензора, легко убедиться в справедливости леммы.
Рассмотрим 4-вектор скорости тела. Его пространственные контравариантные компоненты Ui составляют, согласно лемме 4, вектор. Этот вектор пропорционален скорости. Так как и —вре-
68 менноподобный 4-вектор, то его пространственные компоненты существенно зависят от системы отсчета в том смысле, что для любого 4-вектора скорости, пространственные компоненты которого в данной системе отсчета отличны от нуля, существует система отсчета такая, что и1 = 0. Действительно, пусть в заданной системе отсчета имеется 4-вектор и, причем Ui Ф0. Как известно, подходящим преобразованием координат в /г-мерном пространстве всегда можно обратить в нуль п—1 компонент п-вектора (Эйзен-харт, 1948). Временной компонент и0 ни в какой системе координат не равен нулю, в противном случае была бы нарушена вре-менноподобность и . Следовательно, существует преобразование координат, обращающее в нуль три пространственных компонента и . Поскольку они ведут себя относительно группы (1.45) как компоненты вектора (лемма 4), то это преобразование принадлежит к группе (1.46). Поэтому, если иф 0 в заданной системе отсчета, то преобразование координат, обращающее и в нуль, переводит его из заданной системы отсчета в другую. Таким образом, если скорость тела отлична от нуля в одной системе отсчета, то существует другая система отсчета, в которой скорость тела равна нулю, и наоборот. Модуль же 4-скорости вообще не характеризует данное тело, так как для всех частиц и любых мировых линий он всегда равен —1. Скорость тела, следовательно, является относительной величиной, значение которой имеет смысл только относительно заданной системы отсчета.
Каждый элемент системы отсчета или каждая частица моллюска Эйнштейна обладает 4-вектором скорости, который в этой системе отсчета имеет вид
«' = 0, ^0 = -J=,, и . (1.48)
У — 00 У — goo
В результате измерения метрического тензора мира можно получить в соответствии с последними формулами значения 4-вектора скорости элементов системы отсчета, и наоборот, значения компонентов 4-вектора скорости частицы определяют четыре компонен-та g0a метрического тензора мира в системе отсчета, элементом которой она является.
Теорема 12. Значения четырех компонентов ^0a метрического тензора мира непосредственно зависят от системы отсчета, а именно, от 4-вектора скорости ее элементов и координатной сетки, выбранной из множества принадлежащих этой системе отсчета, и, вообще говоря, не содержат прямой информации о гравитационном поле.
