Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Е=е~Цх)Е% (1.85)
где Х(х) — произвольная функция. Не исключается, что изменение эталона может происходить не только от одной мировой линии моллюска к другой, но и с течением собственного времени на одной мировой линии.
Поскольку числовое выражение всех промежутков собственного времени на каждой мировой линии изменяется с переходом от E к Е, постольку (теорема И) изменяется и результат измерения метрики. Метрический тензор g^(x) в системе эталонов Ё выражается через g ^ (х) равенством
= (1.86)
Теорема 20. В результате измерения метрика физического мира определяется только с точностью до произвольной конформной функции, соответствующей произволу в системе эталонов собственного времени на мировых линиях моллюска Эйнштейна.
87Два физических мира, метрические тензоры которых связаны конформным преобразованием (1.86), существенно отличаются как в геометрическом, так и в физическом отношении. Более того, уравнения Эйнштейна, как, впрочем, и электродинамики, не сохраняют своего вида, если в них подставить вместо g^v тен-
зор а A считать функцией координат. Из законов физики,
служащих одновременно определениями массы, электрического заряда и других величин, следует, что преобразованию (1.86) соответствуют конформные преобразования
тп — т% (1.87а)
-зх ] (1.876)
е = е1 е, 5 (1.87B)
~? = е 2 р, (1.87Г)
й» = е~хи\ (І.87д)
(І.87е)
Т» = е~зхТ\ V V • (І.87ж)
X= еХх. (І.87з)
Дифференциальные уравнения физики, в частности уравнения Эйнштейна и Максвелла—Лоренца, инвариантны относительно преобразований (1.86) и (1.87), если только X = const. В самом деле, уравнения Максвелла—Лоренца (1.7), например, инвариантны относительно (1.86) и (1.87 в—е) в том и только том случае, если функция X удовлетворяет дифференциальным уравнениям
F*\ = О,
единственным решением которых, отвечающим произвольному электромагнитному полю, является X=COnst.
Из отсутствия инвариантности законов физики относительно произвольного конформного преобразования (1.86) следует существование единственной системы эталонов собственного времени, в которой законы природы принимают вполне определенную форму: законы электродинамики — форму уравнений Максвелла — Лоренца, законы гравитации — уравнений Эйнштейна и т. д. Такую систему будем называть системой согласованных эталонов. Причем мы не будем различать любые две системы, эталоны ко-
88торых отличаются постоянным конформным множителем, Т. Є-две системы, для которых Е(х)!Е(х)= const, будем относить к одной.
Обратимся снова к уравнениям электродинамики. Пусть в системе эталонов Ef установленных каким-то образом на мировых линиях моллюска Эйнштейна, измерены метрический тензор мира и распределения напряженностей электромагнитного поля, электрического заряда и его скорости. Составим из результатов измерения величины F^l — и ^ltv ^pllf v • Согласно уравнениям Максвелла—Лоренца, они должны обратиться в нуль в каждой точке мира. Однако этого может и не случиться, если эталоны времени не согласованы между собой.
Докажем последнее от противного. Пусть, напротив, эти величины равны нулю в каждой точке мира. Введем другую систему эталонов E9 связанную^ с первой формулой (1.85), тогда результаты измерения g Z7txv, р и / будут связаны с результа' тами измеоения в системе E соответственно формулами (1.86)г (1.87е), (1.87г) и (1.87д). Поэтому
F^ - 4*/ = <Г2 Х ^ - 4*/ + F^ л v) . (1.88а)
F^ ^ е ~Т\ e^7V V + -Te^ \ v) • (1-886)
Если, по предположению, F^ — и еаZ7pjjt v равны нулю в каждой точке мира, то из (1.88) следует, что результатом измерения этих величин в системе E будут значения, отличные от нуля. Поскольку первая система эталонов E никакими особыми признаками не обладает, то величины Z7!^- и e^F^^ полученные в результате измерения в ней, только случайно могут обратиться в нуль в каждой точке мира.
Итак, предположим, что в результате измерения получены значения F^l — фО и e^Z7^ v Ф 0. Введем другую систему
эталонов E такую, что в ней удовлетворяются уравнения Максвелла—Лоренца
^vZ7fi = 0.
Подставляя эти равенства в (1.88), получаем уравнения ^4,= -2(/^:-4*/),
А = - 2e^-Ft
Ри- fv-.
(1.89)
89Здесь все функции, кроме к(х), известны, по предположению, как результат измерения. Уравнения (1.89) представляют собой неоднородные линейные алгебраические уравнения относительно неизвестных X v, поэтому все характеристические определители (Смирнов, 1956) системы (1.89) равны нулю. В противном случае не существует функции Л, удовлетворяющей (1.89), а следовательно, уравнения Максвелла — Лоренца не имеют места ни в какой системе эталонов собственного времени. С другой стороны, ранг матрицы коэффициентов левой части (1.89) в случае произвольного электромагнитного поля не меньше четырех. Поэтому в общем случае уравнения (1.89) имеют единственное решение, которое можно записать в виде
^T = Qv (^ У. Sh
•откуда
>*= J QJF9 I g) dx + const. (1.90)
Таким образом, если в заданной системе эталонов измеренные значения величин не удовлетворяют уравнениям Максвелла — Лоренца вследствие несогласованности эталонов системы, то можно найти такую функцию Х(х), которая переводит эталоны заданной системы в эталоны согласованной системы, где уравнения Максвелла — Лоренца удовлетворяются, причем эта функция — единственная с точностью до аддитивной постоянной. То же относится и к другим уравнениям физики.