Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
P- Г = 0
о {IV
имеет отличное от нуля решение. Подставим это решение в дифференциальное уравнение
Обозначим п — 1 независимых функций, удовлетворяющих последнему уравнению (Смирнов, 1965), через фг, <рз—., фп и рассмотрим преобразование координат
Х'1=/(Х)9 X* =^(X)9 рФ I9
где функция f такова, что якобиан преобразования отличен от нуля. В новых координатах имеем
Xа ф 0, >/2=Л'3 = . -. = Х/Л = 0.
Так как
р- Xv — (г //1 =Zi 0,
? JlV ^lXl »
то
^1 = 0-
Следовательно, интервал между любыми двумя точками пространства
ds2 - ^v dx,tA dx'\ |х ф 1 и v^l,
определяется только п—1 независимыми разностями координат. Равенство нулю детерминанта метрического тензора означает, таким образом, вырождение пространства, а именно, уменьшение его размерности, по крайней мере, на единицу. Фактическая размерность пространства равна рангу матрицы (g^) .
Интересные соображения относительно размерности физического мира привел Н. В. Мицкевич (1969). Оказывается, гипотетические миры, размерность которых меньше четырех, противоречат физическим представлениям, если в них постулировать уравнения Эйнштейна. Тем более, что априорных противоречий в мирах с размерностью большей четырех, вообще говоря, не существует.
В одномерном мире уравнения Эйнштейна теряют смысл, так как тензор кривизны линии отсутствует.
Если п = 2, то тензор кривизны из-за условий симметрии имеет только один независимый компонент $1212 . Сворачивая тензор кривизны сначала по двум индексам, а затем по четырем, видим,
59 что
^1IV ~ g f|iv^l212 '
R — — -fR\2l2 •
Поэтому в двумерном мире
Подставляя это выражение в уравнение Эйнштейна (1.17), находим, что двумерный мир — пустой, тензор энергии-импульса материи в нем всюду равен нулю.
В трехмерном мире тензор кривизны является линейной однородной алгебраической формой относительно тензора Риччи, поэтому он равен нулю всюду, где равен нулю тензор Риччи, т. е. согласно уравнениям Эйнштейна, во всех тех точках, в которых отсутствует тензор энергии-импульса материи. Таким образом, в трехмерном мире гравитационное поле отсутствует вне веществ-ва, в нем отсутствует гравитационное взаимодействие тел через пустоту, поэтому отсутствуют планетные системы типа Солнечной.
§ 7. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА. АБСОЛЮТНОЕ УСКОРЕНИЕ
Измерение метрики мира возможно, если только задан моллюск Эйнштейна (теорема И). Задание метрики без указания моллюска отсчета лишено смысла: метрика как функция события, измеренная относительно различных моллюсков отсчета, различается. Моллюск отсчета совпадает, по сути с системой отсчета классической физики. В самом деле, под системой отсчета в классической физике понимается, как правило, жесткая система тел, относительно которой рассматривается движение всякого тела, снабженная, помимо часов, еще и жесткими эталонами длины. Если отбросить требование жесткости, смысл которого в общем случае (произвольное движение тел отсчета и произвольное поле тяготения) по меньшей мере неопределен, и наличия эталонов длины, в которых нет необходимости при измерении метрики, то система отсчета и моллюск отсчета есть одно и то же. При этом мировые линии элементов системы отсчета есть мировые линии моллюска Эйнштейна, а между частицами моллюска Эйнштейна могут существовать связи типа упругих сил, или каких-либо других взаимодействий.
Чтобы задать систему отсчета или моллюск Эйнштейна, достаточно указать систему частиц или все элементы сплошной среды,, составляющие систему отсчета. Однако полное описание системы отсчета включает динамические переменные как функции события и связи между ними. К ним относятся плотность массы, 4-вектор
60 скорости, тензор напряжений, плотность электрических зарядов, если система отсчета содержит заряженные элементы, и т. д. И если связи между динамическими переменными могут и должны быть заданы априори, то динамические переменные системы отсчета в общем случае задать произвольно до измерения метрики нельзя. Этому есть две причины. Во-первых, уравнения движения и связи содержат, помимо динамических переменных системы отсчета, еще и метрический тензор и его производные, во-вторых, частицы или элементы вещества, составляющие систему отсчета, вместе с остальным веществом мира являются источником гравитационного поля, т. е. определяют через уравнения Эйнштейна ту или иную зависимость метрического тензора от события. Поэтому полное описание системы отсчета возможно только при совместном решении уравнений Эйнштейна, уравнений движения и связей для всего вещества мира, включая и вещество системы отсчета. При этом динамические переменные системы отсчета как функции события будут зависеть от данных Коши не только для вещества самой системы отсчета, но и для метрики и остального вещества мира, описываемых и измеряемых относительно этой системы отсчета. Характер и движение системы отсчета, относительно которой измеряется движение любого тела, зависят от распределения и движения всей материи мира. Это принципиально отличается от представлений классической физики, согласно которым характер и движение системы отсчета могут быть заданы наперед произвольным образом.
