Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
торы ортонормированной тройки и совпадает с вектором х-
Определение 6. Тензор %ik, определенный равенствами (1.49), описывает вращение системы отсчета. В собственной системе отсчета его компоненты равны проекциям приращения одних про-странственноподобных 4-векторов тетрады на другие при переносе тетрады вдоль мировой линии элементов системы отсчета.
Если вектор X вращения равен нулю, то каждый пространст-венноподобный вектор тетрады при смещении вдоль у получает приращение, направленное вдоль у, но не имеющее проекции в ортогональном к у направлении, т. е. испытывает перенос Ферми— Уолкера. Действительно, пусть Из (1.65) и (1.54) следует,
75 что приращение векторов ортогонально каждому из по-
этому
-5і -»«,f.
Для нахождения Ъ умножим скалярно последнее равенство справа и слева на и и учтем (1.54). Получим
Ьа -^mliw'
Это равенство совпадает с условием переноса вектора вдоль у по Ферми—Уолкеру (Мицкевич, 1969), которое в общем случае произвольного, неортогонального Y 4-вектора Ax имеет вид
(aV-wV). (1.66)
И наоборот, если 4-векторы тетрады (имеются в виду так как касательный к кривой 4-вектор переносится вдоль самой кривой всегда по Ферми—Уолкеру) испытывают перенос Ферми—Уолкера
вдоль у, то вектор % вращения равен нулю. В этом, и только этом случае, вращение отсутствует.
Теорема 14. Ортонормированная тройка 4-векторов, ортогональных мировым линиям элементов системы отсчета, испытывает перенос Ферми — Уолкера вдоль этих мировых линий в том и только том случае, если отсутствует вращение системы отсчета.
Следует иметь в виду, что это релятивистское определение вращения включает в себя и такой случай, когда мировые линии системы отсчета геодезические, т. е. частицы или элементы среды, составляющие систему отсчета, неускоренные, свободные, но система отсчета вращается, так как Примером может служить система отсчета в мире Минковского, образованная множеством непараллельных геодезических. Такая система не покрывает всю область, но если углы между геодезическими малы, то она может быть распространена достаточно далеко во времени (тем дальше, чем меньше углы), пока геодезические не пересекутся. В пределе, когда углы между геодезическими равны нулю, эта система отсчета превращается в инерциальную, покрывающую все события мира Минковского.
В случае, когда мировые линии системы отсчета геодезические (частицы неускоренные), вращение системы отсчета имеет сугубо кинематическую природу, в отличие от динамической природы вращения, когда мировые линии системы отсчета негеодезические, а частицы или элементы среды, составляющие систему отсчета, имеют ненулевое абсолютное ускорение.
76 Заметам, что формулы (1.58) и (1.59) можно записать компактно, если ввести обозначение для и = SL:
Теорема 15. Величины, описывающие абсолютное ускорение и вращение системы отсчета, составляют единый антисимметричный инвариантный комплекс, определенный равенствами (1.67). В собственной системе отсчета в координатах Ферми его пространственно-временные компоненты равны соответствующим компонентам абсолютного ускорения системы отсчета, а пространственные компоненты — компонентам тензора вращения.
Если заданная мировая линия у геодезическая, т. е. Wa =0, а 4-векторы переносятся вдоль нее параллельно (перенос
Ферми — Уолкера вдоль геодезической совпадает с параллельным), что допустимо, то координаты Ферми являются геодезическими в каждой точке этой мировой линии. В другом частном случае, когда мировая линия не обязательно геодезическая, но тетрада переносится вдоль нее по Ферми — Уолкеру, на базе системы координат Ферми Синг (1963) вводит специальные координаты, являющиеся инвариантами и также называемые координатами Ферми.
В качестве примера используем координаты Ферми для доказательства следующего утверждения.
Теорема 16. Длина дуги (или промежуток собственного времени) временноподобной геодезической и только геодезической между заданными событиями имеет стационарное значение. Оно является максимальным, если кривизна мира неотрицательная, в остальных случаях не является ни максимальным, ни минимальным.
Доказательство. Пусть задана временноподобная кривая у, которой принадлежат события Po и Р\. Свяжем с этой кривой систему координат Ферми. В соответствии с 1-м свойством координат Ферми имеем
где
(1.67)
Z11 = 0, Z?= X9 It It
(P0) = V 2° (Pt) = *
поэтому
ЧРо, Pu Т> = *1
77 Уравнения произвольной кривой Y в є — окрестности 7, проходящей через события P0 н Pu имеют вид
= ell(x), Zfr = X,
Iі (X0) = Iі ("C1) = 0.
Здесь є — малый положительный параметр, I1 — произвольные функции собственного времени на у. (Следует подчеркнуть, что уравнения у' заданы не в функции канонического параметра — длины дуги вдоль у', а в функции длины дуги кривой у, с которой связаны координаты Ферми).
Так как Z11 f малы, то они представляют собой пространственные компоненты 4-вектора смещения, ортогонального Действительно,
а а ла /<*
г. — Z. = Аг = є/ ,
It' Іт
где T {0, /'} — 4-вектор. Поэтому IaUa = 0.
