Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Это не означает, конечно, что функции ^0a не могут зависеть, например, от массы источников гравитационного поля, но зависимость эта, если она имеет место в конкретной системе отсчета, достаточно случайна, ибо в другой системе отсчета такая зави-
69симость может полностью исчезнуть. Нетривиальный смысл теоремы 12 состоит в том, что значения некоторых величин, например, кривизна мира, определяются только гравитационным полем и никак не зависят от состояния движения системы отсчета, тогда как для любых двух миров существуют, по крайней мере, две системы отсчета, в которых компоненты ^0ct их метрических тензоров равны. С другой стороны, в заданной системе отсчета нельзя преобразованием координат свести именно компоненты ^метрики к любым наперед заданным функциям. Этого можно достичь, если преобразование относится к общей группе (1.47), т. е. затрагивает наряду с координатной сеткой и систему отсчета. Последнее же представляет с точки зрения наблюдаемых экспериментальной физики переход от одной физической реальности к другой.
Из четырех компонентов g0aL компоненты ^00 и g0l в разной степени характеризуют системы отсчета и координатные сетки, принадлежащие системе отсчета.
Лемма 5. В любой системе отсчета существуют координатные сетки такие, что компонент goo метрического тензора мира равен отрицательной единице.
Если в заданной системе отсчета gооФ—1, то легко добиться выполнения этого равенства преобразованием координат
принадлежащим к группе (1.45).
Введем аксиальный вектор % через дуальный ему антисимметричный тензор
X/fc = 2^оо Y^gw f^0*^0/> 0 ^OiSой, о Soo (Sok, і Soit л) "Ь
+ SolSootb-Sokg^l] (L49>
и полярные векторы р и я через их ковариэнтные
* = + С"50*)
и контравариантные компоненты
^ = -J-C (1.506)
Компоненты векторов р и я взаимно связаны равенствами
=Wp,, (I-Sla)
70Непосредственной подстановкой можно убедиться, что правые части (1.49)-(1.51) преобразуются относительно группы (1.45) как тензоры второго ранга и ко- и контравариантные векторы соответственно.
Лемма 6. В заданной системе отсчета преобразованием координатной сетки можно обратить в нуль компоненты goi мет-» рического тензора мира в том и только том случае, если в этой системе отсчета Х/* — 0.
Доказательство. Пусть goi=/=0. Рассмотрим преобразование координат из группы (1.45). Если g0/=0 и только в этом случае можно записать уравнения
дх'° = дх'° Soi дх1 ~ дх° gl»9
определяющие координату х'°. Необходимые и достаточные условия совместности этих уравнений (Эйзенхарт, 1947) приводят к равенству
Soo (S Bi, k Sok, /) + SokSoo, і SoiSoo, k SoiSok, о SokSoi, о ~~
что и доказывает лемму.
Лемма 7. Для того чтобы в заданной системе отсчета существовала координатная сетка, в которой одновременно выполнялись бы равенства g{y$=—1 и g"oi =0, необходимо и достаточно тождественное обращение в нуль обоих векторов р и %. Если эта координатная сетка существует, то она единственная.
Доказательство аналогично предыдущему.
Векторы р и X определенным образом характеризуют системы отсчета. Системы отсчета, в которых х = 0, уместно называть синхронными* (Арифов, 1965).
Четырехвектор ускорения тела или частицы определяется как абсолютная производная 4-вектора скорости
^= + 0-52)
В отличие от 4-вектора скорости вектор Wa пространственноподоб-ный, так как он ортогонален и , и его модуль является индивидуальной характеристикой движения тела. Пространственные компоненты Wi образуют, согласно лемме 4, в каждой системе отсче-
* Не следует путать их с синхронными (или, что то же самое, нормальными гауссовыми) системами координат (Ландау, Лифшиц, 1973), определяемыми условиями goo=—1, go/ Как видно из леммы 7, указанные условия выделяют специальные координатные сетки в классе систем отсчета, являющемся подклассом синхронных, а именно, в классе неускоренных синхронных систем отсчета.
71та вектор. Вектор Wi пропорционален вектору ускорения тела, а модуль 4-вектора ускорения равен абсолютному значению ускорения. Ускорение тела поэтому — величина абсолютная, не зависящая от системы отсчета, относительно которой она измеряется. Во-первых, абсолютное значение ускорения как модуля 4-вектора инвариантно при преобразованиях координат из общей группы (1.47) и одинаково при измерениях в различных системах отсчета. Во-вторых, если вектор ускорения W1 отличен от нуля в какой-либо одной системе отсчета, то никаким преобразованием координат (1.47) его нельзя обратить в нуль, так как это нарушило бы пространственноподобность 4-вектора ускорения. Если вектор ускорения отличен от нуля в одной системе отсчета, то он отличен от нуля в любой другой системе отсчета, и наоборот, если он равен нулю в одной, то равен нулю в любой другой системе отсчета.
В собственной системе отсчета, в которой тело «покоится», т. е. положение его неизменно, а скорость равна нулю, 4-вектор ускорения удовлетворяет равенствам
і і 0 SOi I
W = TT , W, = P п W = — - те , 1 Soo
W0 = Ot WaWa = plt,
(1.53)
Поэтому векторы р или TZ представляют собой абсолютное ускорение тела в собственной системе отсчета либо абсолютное ускорение элементов самой -системы отсчета или частиц, принадлежащих моллюску Эйнштейна. В этом состоит физический смысл векторов р и я. Равенство или отличие от нуля этих векторов означает неускоренность или ускоренность системы отсчета.