Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Арифов Л.Я. -> "Общая теория относительности и тяготения" -> 34

Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.

Арифов Л.Я. Общая теория относительности и тяготения — СССР: Фан, 1983. — 304 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositel1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 115 >> Следующая


Расширение этой формулы на непараллельные мировые линии, сделанное Вигнером (Wigner, I960), также ошибочно. Ниже приводится другой вывод общей формулы, отличающийся при математической строгости прозрачным физическим смыслом.

83 * ' "о

4- -L Aai ~аР ] A-L-L/v/?? л*1-*" ^ 2 Лр1...рг^0 1" 6

"я P1 f



Применим эту формулу к 4-вектору Wa(P). Имеем

W(P) = W</>.)+^k* +

Подставляя сюда (1.78), получаем

w1 (P) = w- (p0) h- ^l р о + 4- (p;v„ „ v)^ a2 + .... Аналогично

+ + a2+ ....

Поэтому

W (P) = W (P0)+с + ±К(и\ ^1P0W(P0)C2 + I P0

1 / ^e \ + -Н^^к^о)*2+..-.

(1.80)

При получении (1.80) учтено, что еа всюду ортогонален Yi- Этому условию легко удовлетворить. Действительно, скалярное произведение WaWa постоянно вдоль геодезических семейства, так как

Ь ( а \ &W* Ьиа ld/ а\ s\

— ( и W = и -г— = и —— —-—- — [ а а = 0.

5a \ « j «5а « ov 2 ov \ а )

Поэтому достаточно ортогонализовать 4-векторы а и Wa в одной точке геодезических, чего можно достигнуть линейным преобразованием канонического параметра а.

Равенство (1.80) инвариантно относительно преобразований из общей группы (1.47), поэтому справедливо не только в рима-новых координатах, но и в произвольной системе координат.

84 Рассмотрим события P4 и P8 на T1 (рис. 2) такие, что Ра) = * (PA. ^6) =4-Х2,

x(Pe, P8) = X (P8, P9) = -I-T3.

Согласно лемме 8, четырехвекторы (P0Ps), (P4Pe) и (P8P7) ортогональны T1. Если на 7t параметр семейства геодезических принимает значение V1, а на — значение V2 = V1H-Ay, то 4-вектор w*Av в событиях P0, P4 и P8 совпадает с 4-векторами (P0P3)t (РаРь) и (P8P7), а так как нормы этих последних равны, согласно (1.42), -L-Ttt -L-X2 и -I-T3 соответственно, то

W(P0)Av = -^-T1, W (P4) Av --L-т2э W(P8)Av-= -і-т3.

(Ш)

)

Рис. 2. Измерение на мировой линии свободной частицы значений трех последовательных промежутков Tlt T2 и T3 собственного времени между соответствующими событиями отправления светового сигнала с частицы и возвращения на нее после отражения от другой свободной частицы, мировая линия которой компланарна , позволяет вычислить по формуле (I. 84) кривизну мира в направлении, определяемом мировыми линиями обеих частиц.

Подставив в (1.80) значения о, соответствующие событиям P4 и Pe. * именно, о (P4) = J- (T1 + T2) и О (P8) = T2 + -I- (T2 + T3), и использовав (1.81), получим два уравнения

^2 = + К + хг) _ Av+ 4г xI (xI + хз)2 X



+

= X1 + (X1 + 2т2 -f т,) Д V + -J- N + + Xt)* X Разрешая их относительно и К[ие")|р, находим

^ Ay _ t^tI 2 Ti тз~^2 (182)

и формулу (1.77).

Ьеа

Четырехвектор -JJ--пространственноподобный. В самом деле,

^ Zr «\ л

так как

Поэтому

-г— = 0 и и е = 0.

оа а

-S--Sl >0. (1.83)

Он определяет скорость пространственного вращения 4-вектора I а Ьеа\

W в плоскости [е, -J^I в процессе его переноса вдоль геодезической, или меру некомпланарности геодезических уі и у2.

Пусть через событие P3 проходят различные геодезические, образующие непрерывное множество. Каждая геодезическая этого множества при фиксированной геодезической Yi характеризу-

Ьеа

ется своим значением и ДЛя каждой из них справедлива

формула (1.77). Поскольку кривизна мира в событии Po в двумерном направлении, образуемом 4-векторами иа и (PoPs)1 не зависит от геодезической у2, то левая, а стало быть, и правая части формулы (1.77) имеют одно.и то же значение для всех у2 из множества. Если ограничиться измерением значений только Ti, Т2 и тз, то измеряемой величиной из правой части (1.77) является первое слагаемое. Второе же слагаемое в данном варианте измерения остается неопределенным. Но второе слагаемое удовлетворяет условию (1.83), поэтому существует такая геодезическая у2, для которой второе слагаемое обращается в нуль, а первое слагаемое имеет минимальное значение для множества геодезических у 2»

Теорема 19. Кривизна мира в заданном событии в заданном двумерном временноподобном направлении определяется формулой

К " 16 k (X1 + ъ) (? + І) fr + 2т3 + T3)}rain- <L84>

86 Таким образом, измерение кривизны мира сводится к измерению множества троек значений собственного времени Tb Т2 и Тз и выявлению той из них, которая минимизирует правую часть (1.84).

§ 11. ЭТАЛОНЫ ИЗМЕРЕНИЯ СОБСТВЕННОГО ВРЕМЕНИ

В § 5 было показано, что измерение метрики в окрестности данного события сводится к измерению собственного времени на мировой линии частицы, содержащей это событие. Последнее же есть, по сути, простое сравнение измеряемого промежутка с эталоном времени, установленным на мировой линии частицы. Эта« лоном времени может служить любой периодический процесс, например, период излучения атома, соответствующего переходу между двумя его определенными энергетическими состояниями. Принято считать, что установление эталонов является актом свободной воли экспериментатора или соглашения многих экспериментаторов, поэтому возникает вопрос, как сказывается на метрике мира тот или иной выбор эталонов.

Предположим, что E — система эталонов времени, выбранных на каждой мировой линии моллюска Эйнштейна, a g^v (х) — метрический тензор физического мира, измеренный в этой системе единиц времени. Пусть E — другая система эталонов. Если выбор эталонов на каждой мировой линии произволен, то отношение масштабов систем E и Ё является произвольной функцией точки мира, которая подчиняется естественному требованию: эта функция достаточно гладкая и существенно положительная, т. е. нигде не обращается в нуль или бесконечность. Связь между системами эталонов EnE можно символически выразить так:
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed