Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим длину дуги вдоль Y между P0 и P1 через о (P0, P1; Y) (кривая Y не обязана быть временноподобной). Она определяется следующей формулой:
¦¦{р» pV O = J ]/
Чг h (1-68)
Из уравнений Y следует
— - і dgi = с d{i dz ' dz dz
Разложим Srtxv(Z) в ряд Тейлора в окрестности Zi=O и ограничимся квадратичными по є членами:
Sr1XV (z) — S^v It eS" JXV, * It I 2~ ^rtXV, A/I It I I •
Используя свойства (1.57) и (1.61) координат Ферми, можно записать
dz* dzv & у* dx dz
-1+*«.гO1t
- (^/')2 + + . (1.69)
где К Г)^ — кривизна мира в направлении, определяемом векторами а* и Г, в точках 7, a I2 = IaT.
78 С учетом (1.64) и (1.65) формула (1.69) приводится к удобному виду:
dz* dz*
^Vv di dz
1 + 2(I.
70)
Это равенство инвариантное и не зависит от системы координат. Подставляя его в (1.68), находим окончательно
¦ С* Л; ?') = J [i + г - е2 +
+ К{и\ /2)]1'2^. (1.71)
При произвольных функциях Г равенство
do (Po, Pu Y) =0 d? |.=о
выполняется в том и только том случае, если wa = 0, т. е. заданная кривая 7 — геодезическая. При этом условии
Из ортогональности Г геодезической у следует пространственно-подобность , поэтому 1-й член в подынтегральном выражении неотрицательный, а знак и величина второго члена зависят от кривизны мира. Если кривизна мира неотрицательная, то длина дуги имеет максимальное значение, в остальных случаях ни максимальное, ни минимальное.
Следствие 5. Промежуток собственного времени между любыми заданными событиями вдоль геодезической мировой линии мира Минковского имеет максимальное значение.
§ 9. ИЗМЕРЕНИЕ АБСОЛЮТНОГО УСКОРЕНИЯ
Особая роль геодезической с физической точки зрения заключается в том, что она реализует свободное движение частицы. Частица с нулевым абсолютным ускорением описывает геодезическую мировую линию. Значение понятий свободная частица и геодезическая как мировая линия свободной частицы в общей теории относительности почти также велико, как и в классической механике, в которой понятия о неускоренном движении и ускорении лежат в основе фундаментальных представлений об абсолютном пространстве и инерциальных системах отсчета. В отличие от последней
79 в теории относительности ускорение инвариантно относительно преобразований общей группы (1.47), поэтому его абсолютное значение не зависит от системы отсчета, в которой оно измеряется. В § 7 уже указывалось на возможность измерения ускорения путем измерения метрики. Однако должны существовать, по крайней мере в принципе, и независимые способы измерения абсолютного ускорения, которые оправдывали бы оперирование понятиями ускорение и мировая линия свободной частицы на стадии до измерения метрики.
Простейший метод измерения абсолютного ускорения тела заключается в измерении его ускорения относительно какого-либо неускоренного тела. Но этот метод не отвечает поставленной цели, так как предполагает известным отсутствие ускорения у неускоренного тела. Указание на отсутствие ускорения правомочно только в том случае, если оно является следствием определенной измерительной процедуры. Ссылка на отсутствие каких-либо внешних сил, действующих на тело,— свободное тело,— возвращает нас опять к необходимости измерения ускорения, так как действие сил и полей в конечном счете обнаруживается путем изучения движения тел. Необходимо иметь метод измерения абсолютного ускорения, в котором бы не использовались априорные предположения о значениях ускорения тел, включенных в процесс измерения.
Такой способ измерения предоставляет формула (1.71). Пусть имеется частица, абсолютное ускорение которой требуется измерить, и некоторая вспомогательная частица, мировая линия которой принадлежит е-окрестности мировой линии исследуемой частицы и пересекает ее в двух событиях. Обозначим собственное время между событиями пересечения, измеренное по часам исследуемой частицы, через Т0(Т0=ті—то), а по часам вспомогательной —через Tu И предположим, что движение вспомогательной частицы является линейным. Тогда проекция абсолютного ускорения исследуемой частицы на направление движения вспомогательной определяется формулой
w еа= lim^=^. (1.72)
Го-0 IT0
Здесь е* — единичный 4-вектор, ортогональный мировой линии исследуемой частицы, так что Г = Iea (в отличие от предыдущего параграфа малый параметр є не выделен в явном виде, поэтому є/а->/а, а /" — малые функции), / — среднее значение за время Tn0l т. е.
X1
/ = 1/(х)Л- (L73)
80 Линейность движения вспомогательной частицы означает постоян-
de1 А
ство направления движения во времени т, вследствие чего ^ =0
на отрезке от то до х\. Постоянный вектор е может испытывать вращение вместе с репером или, что то же, вращение вместе с системой отсчета, но эффекты, обусловленные вращением, квадратичны по порядку малости и при получении формулы (1.72) могут не учитываться.
При стремлении То к нулю Tj то, а функция / также стремится к нулю, поэтому, разлагая подынтегральное выражение (1.71) в ряд по малым функциям, отбрасывая все члены, кроме линейного, и интегрируя по теореме о среднем, получаем (1.72). Впрочем, на малом интервале ускорение можно считать постоянным. По крайней мере, уменьшая интервал интегрирования, всегда можно достичь пренебрежимо малого изменения ускорения внутри интервала.
