Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
сходящийся при всех значениях t. Определение коэффициентов ап и Ьп представляет большие трудности, кроме случая, когда ф (jc) является относительно jc многочленом степени, меньшей или равной двум. Тогда jc является круговой или эллиптической функцией аргумента t. По вопросу вычисления этих коэффициентов в общем случае отсылаем к работе Вейерштрасса «Ueber eine Gattung reel periodischer Funktionen» (Monatsbericht der Akad. der Wissen, zu Berlin). Можно получить приближенную формулу для закона движения, применяя метод, указанный Дппеллем (Comptes Rendus, т. 160, 1915, стр. 419). ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 291"
212. Движения под действием силы, зависящей только от скорости. Вертикальное движение снаряда в сопротивляющейся среде. До сих пор мы рассматривали примеры, в которых сила зависела только от положения точки. Перейдем теперь к кругу вопросов, в которых приходится рассматривать материальную точку, находящуюся под действием силы, зависящей только от скорости. Вообразим тяжелое тело, движущееся в такой сопротивляющейся среде, как воздух. Среда оказывает на каждый элемент поверхности тела некоторое действие и все эти действия складываются в одну силу и одну пару, приложенные к телу. В частном случае, когда снаряд является телом вращения и совершает поступательное движение, параллельное оси вращения, из соображений симметрии очевидно, что пара равна нулю и что равнодействующая всех действий среды на элементы поверхности тела является силой, направленной вдоль оси в сторону, противоположную движению. Такое явление можно наблюдать; например, когда шар или снаряд цилиндрическо-конической формы падает в неподвижном воздухе по вертикали.
Займемся этим частным случаем. Согласно теореме движения центра тяжести, которую мы докажем позднее, движение центра тяжести будет таким, как если бы в нем была сосредоточена вся масса тела и если бы в него были перенесены параллельно себе все приложенные к телу внешние силы. Следовательно, центр тяжести движется, как тяжелая точка, находящаяся под действием вертикальной силы R, направленной в сторону, противоположную скорости. Мы приходим таким образом к необходимости исследовать движение материальной точки под действием ее веса и силы сопротивления R. Опыт показывает, что при очень малых скоростях сопротивление почти пропорционально скорости v. Если скорость заметна, но все же меньше чем 200 м/сек, то сопротивление изменяется пропорционально V2. При больших скоростях необходимо ввести члены с V3 или с kt. Нельзя, по-видимому, выразить закон сопротивления простой формулой. Сиаччи предложил формулу, совпадение которой с экспериментом заслуживает внимания. Эта формула была исследована Шапелем в Revue (!'Artillerie (т. XLVIII, апрель — сентябрь 1896). Мы будем исходить из общего предположения, что сопротивление выражается в функции скорости формулой
R __ mg<.р (к),
где <p(f) — положительная и возрастающая функция от v. Так как тело, если его предоставить самому себе без начальной скорости, будет падать, то сопротивление при V = O должно быть меньше веса, и, следовательно, <р(0) <1. Допустим, кроме того, что для каждого положительного значения переменной функция <р (к) имеет конечную, положительную и не равную нулю производную. Через X обозначим то значение v, при котором сопротивление равно весу, т. е. <р (Х)— 1. 292
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
1°. Нисходящее движение. Предположим, что движение является нисходящим (рис. 135). Примем за начало исходное положение тела, а за ось — вертикаль, направленную вниз. Уравнение движения будет
(Р X
т Ifi = mg~R = W
или
% = ё [!—?(«)]• Так как ср (X) = 1, то можно написать
= ?(«)]. (1) откуда при помощи квадратуры найдем время в функции скорости:
gt= f 4(\)-4(v)- (2)
R v»
Кроме того, заменяя в равенстве (1) dt через dx[v, получим
M , _ V dv
g Х~ <р(Х)—<p(w)"
Таким образом, координата также определяется как функция скорости при помощи квадратуры
gx
mg
х
Рис. 135.
V
I (3)
Формула (1) показывает, что ^ имеет тот же Знак, что и разность ср (X)— <p(v). Предположим, что начальная скорость, которая по условию положительна, меньше величины X. Тогда вначале производная
будет положительна и скорость с течением времени будет возрастать от своего начального значения V0. Скорость будет увеличиваться до тех пор, пока разность ср(Х) — ср(г/) будет оставаться положительной, т. е. пока V не достигнет значения X. Покажем, что V не может достигнуть значения X за конечный промежуток времени. В самом деле, в уравнении (2) подынтегральное выражение
—обращается в бесконечность при г/ = X и притом таким
образом, что (X) — стРемится к пределу 1/ср'(Х). Вследствие
этого интеграл становится бесконечным при г/= X. Уравнение (3) показывает, что х также становится бесконечным для этого значения скорости V. Отсюда вытекает, что скорость все время возрастает, но стремится к конечному пределу X. ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 293"
Если начальная скорость V0 больше X, то производная ^
