Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
? dx T = Л__Исходя из выражения для скорости, в котором v = — , после
W
квадратуры найдем
1 cos (P-^Vfeg)
X--г~ ш -=-•
k cos ?
3°. Прямолинейное движение тяжелой материальной точки по наклонной плоскости с учетом трения и сопротивления среды.
Точка, пущенная из положения О (рис. 137) по линии Ox наибольшего наклона плоскости, опишет прямую, наклон которой к горизонту мы
обозначим через /. Силами, приложенными к точке, являются вес mg, сопротивление среды, которое мы будем считать пропорциональным vn, R = mkvn, направленное в сторону, противоположную скорости, нормальная реакция N плоскости и, наконец,, сила трения F, также направленная в сторону, противоположную скорости. Эта сила, согласно экспериментальным законам трения (п. 195), не зависит от скорости точки и пропорциональна нормальной реакции: F = fN, где / есть коэффициент-трения.
Исследуем подробно нисходящее движение. Возьмем ось Ох, направленную вниз, как на чертеже, И перпендикулярную к ней ось Oy. Выписав оба уравнения движения, имеем
Рис. 137.
сРх
F, т =N — mg cos і.
¦"Ш = т8 Sint-R-Так как у все время равно нулю, то
N = mg cos і, F = fN = fmg cos /. Заменив R его значением mkvn, получим уравнение
d? X
-fip = (g sin / — fg cos /) — kvn.
Необходимо различать три случая в зависимости от того, будет ли первый член положительным, отрицательным или равным нулю.
Первый случай-. Xgl > f. В этом случае первый член ^sln/ — fg cos і положителен. Обозначая его через g', получим
d4 dt2
= g' — kvn.
Это уравнение идентично уравнению нисходящего движения по вертикали в сопротивляющейся среде и отличается от него лишь заменой g через g'.
Скорость, следовательно, стремится к (g'jk)n. ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 297"
Второй случай: Xgi < f. Первый член отрицателен, и, обозначая его через gi, мы получим уравнение
идентичное уравнению восходящего движения по вертикали с заменой g на gi- Скорость будет уменьшаться и обратится в нуль по истечении конечного промежутка времени Т. Следовательно, к этому времени точка достигнет некоторого положения А, в котором сопротивление воздуха и трение скольжения при движении уничтожаются, так как скорость обращается в нуль. Точка будет оставаться все время в этом положении, так как если бы •она начала двигаться, то сразу возникли бы силы трения и сопротивления среды, которые вновь обратили бы скорость в нуль. Следовательно, в этом положении А имеет место изученное в главе I равновесие между весом и наклонной реакцией плоскости, вызванной трением покоя.
Третий случай: tg Z = /. В этом случае получится уравнение:
dtз - RV ' dt - RV ¦
Следовательно, скорость будет убывать, так как ее производная отрицательна. Будет ли она обращаться в нуль? Интегрируя, получим
«'=7^1-("1-"-'
если л отлично от 1, и
kt= In^O-,
если л = 1. Следовательно, если л больше или равно 1, то t неограниченно возрастает, когда v стремится к нулю: движение продолжается неопределенное время со скоростью, стремящейся к нулю.
Если л меньше 1, то t стремится к определенному пределу Т, когда V ¦стремится к нулю:
V10-п
1 — л
По истечении этого времени скорость обратится в нуль и точка остановится, так как при скорости, равной нулю, пропадет, как и в предыдущем случае, сопротивление.
Пройденное расстояние х будет конечным или бесконечным в зависимости от того, будет ли л меньше или больше чем 2.
213. Прямолинейное таутохронное движение. Говорят, что прямолинейное движение является таутохрояным, если точка, начинающая движение без начальной скорости и находящаяся под действием заданных сил, затратит одно и то же время для достижения определенного конечного положения, каково бы ни было ее положение в начальный момент.
1°. Равнодействующая сил зависит только от положения точки (метод Пюизё). Примем точку прибытия или точку тауто-хронизма за начало О. Пусть X—равнодействующая приложенных 298
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
к точке сил, х0 — абсцисса начального положения, которую мы предполагаем положительной. По теореме кинетической энергии имеем
О/
=/
= I Xdx.
По предположению, X является функцией от X и, очевидно, отрицательной, так как точка должна двигаться к началу О, каково бы ни было ее начальное положение, для чего сила должна быть везде направленной к О. Положим для краткости
J Xdx = — ср (х),
где cp(jc)— положительная функция, возрастающая вместе сх и обращающаяся в нуль при X = 0. Уравнение примет вид
»(4г)" = 21^o)-?(*)]•
Отсюда для определения времени Т, необходимого точке для достижения положения О, можно вывести формулу
•-/тУ
X0
dx
У 9 (-rO) — ? (*)
Положим
ср (х) = z, ср (JC0) = Z0, X = ф (г), где ф— функция, обратная ср. Получим
г—-\П? С У {z) dz -У 2 J Y^=Tg '
Для того чтобы движение было таутохронным, необходимо и достаточно, чтобы T не зависело от jc0, т. е. от z0. Чтобы выразить это, напишем, что производная от T по параметру Z0 равна нулю. Чтобы избавиться от бесконечных членов в выражении этой производной, сделаем пределы не зависящими от z0, положив z = z0u. Тогда
