Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Задачу можно рассмотреть еще иначе, выполнив квадратуру, которая определит t в функции X. В самом деле, имеем
dx
+ л
Ik2
Если положить -)- Л = и2, то задача сведется к интегрированию рациональной дроби.
5°. Точка притягивается неподвижным центром пропорционально п-й степени расстояния:
X = — (1ХП.
В этом случае, если точка помещена без начальной скорости на расстоянии X0 от начала, то она его достигнет за промежуток времени
T=X^fj- іА^+її с (і-г)~Кг.
0 n + lV 2(i J
о
В этом выражении определенный интеграл является эйлеровым интегралом в(—, 4-V Отсюда ясно, что единственным значением л, при ко-\л+1 2/
тором T не зависит от X0, является л = 1 (пример 2).
6°. Исследование общего случая. Сила имеет вид X = ту (х) и уравнение движения будет
d"-x . . w = t (*)•
После первого интегрирования получим (теорема кинетической энергии)
Ш' = 2 / T <*>** +* = /<*)•
или
§-±vm.
Допустим для определенности, что f(x) является рациональной дробью. Знак перед корнем в начале движения определяется направлением, в котором точка начинает двигаться. ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 289"
Допустим, например, что следует взять знак -)- ; тогда движущаяся точка будет удаляться в положительном направлении. Единственными особенностями являются нули и бесконечности функции /(х). Допустим, что при возрастании X мы придем сначала к точке, в которой функция / бесконечна. В этом случае движущаяся точка будет перемещаться с неограниченно возрастающей скоростью в положение А, соответствующее этой бесконечности; данный результат и дает решение задачи. (Физически такой случай невозможен). Допустим теперь, что первой особенностью является простой нуль. Тогда можно написать
f{x) = (д —jc) і (je), где ф не обращается в нуль между X0 и а, и мы получим
Л у ___
— = .Уд-*>/>(*).
При этом функция і (jc) в промежутке от x0 до а должна быть положительной для того, чтобы — было вещественным. Движущаяся точка подходит
сколь угодно близко к точке А с абсциссой а, так как на отрезке M0B (рис. 134) скорость не обращается в нуль и, следовательно, превосходит некоторую положительную величину U1. Поэтому движущаяся, точка обязательно достигает' положения В. Но она достигает также за конечный промежуток времени и положения А, так как время, необходимое ей для прохождения расстояния от X0 до х, равное
а. /
dx
У а —X V^(JC)'
остается конечным, когда х стремится к д. В точке А скорость обращается в нуль и дальнейшее движение будет происходить в направлении силы. При этом точка обязательно пойдет обратно, так как если х перейдет dx
через а, то -jj? станет мнимым. Если особенность х — а будет двойным или
кратным корнем, то движущаяся точка будет сколь угодно близко подходить к точке А, но не достигнет ее за конечный промежуток времени, так как, предполагая корень двойным, имеем
/(jr) = (a—г)Н(*).
и вследствие этого
dx
ж=(а-х)У^(7),
где функция і (je) будет по-прежнему положительной между x0 и а. Время
X
С dx
J і,2 — X)YHXГ
X0
необходимое движущейся точке для прохождения расстояния от X0 до X, неограниченно возрастает, когда х стремится к а. Можно заметить, что если X = а является двойным корнем, то соответствующее положение является положением неустойчивого равновесия. Действительно,
/(jc) = (a-jc)^(jc) 290
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
и, кроме ТОГО,
/(Jf) = 2 Jf(Jf)Ac + *. Отсюда, дифференцируя, получим для силы выражение
X= тч{х) = !±[(а- xf Y (jf) - 2 (а - jf) 4. (jf) ],
которое действительно обращается в нуль при х = а. Но если сила при х = а обращается в нуль,' то соответствующее положение А есть положение равновесия. Оно неустойчиво, так как если точку бесконечно мало удалить от этого положения, сообщив абсциссе X значение, меньшее чем а, но бесконечно к нему близкое, то вышенаписанное выражение, в котором ф (jc) положительно вблизи X = а, показывает, что X станет отрицательным; следовательно, точка стремится двигаться в отрицательном направлении и еще более удаляться от положения равновесия.
Часто встречающимся частным случаем является следующий: точка выходит из положения JC0 со скоростью t/0 и первыми особенностями, которые встречаются при увеличении jc или при его уменьшении, являются два простых нуля я и с функций /(je), где я > jc0 > с. Тогда можно написать
/(Jf) = (a —Jf) (Jf - с) ф (Jf), где I (jc) — положительно между а и с. В этом случае имеем
/*_dx_
t= J ±V(a-Jf)(Jf-c) YW)'
где попеременно нужно брать знаки + и —, так как, согласно предыдущему движущаяся точка будет колебаться между двумя точками А и С с абсциссами а и с (см. рис. 134). Продолжительность колебания (вперед и назад) равна
dx
y(a-jc)(jc-c) V^(Jf) '
Если, следовательно, jc рассматривать как функцию от t (обращение интеграла), то jc будет периодической функцией с периодом Т. Согласно теореме Фурье jc можно разложить в тригонометрический ряд вида
2nt , 2Tit , 4-кі 4nt .
X = а0 + Ci1 cos — + O1 sin -у- + O2 cos -у- + Ь2 sin -у- + ...,
