Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
mIfl=0' тчк = у-
Первое из этих уравнений приводится к следующему
dx /It
—7т = a, X = at-\-Ь, at
т. е. проекция точки на ось Ox движется по этой оси равномерно. Постоянные а и b определяются из условия, что при t = t0 должно
быть X — ;с0, — xQ- В наиболее общем случае второе уравне-
ние имеет вид
= Ф (х у Л
т dt2 \ ' у' dt' dt'
После замены х выражением at-{-b оно преобразуется в уравнение вида
идентичное с уравнением прямолинейного движения. Если его можно проинтегрировать, то задача будет решена.
216. Естественные уравнения. В рассматриваемом случае естественные уравнения упрощаются. Возьмем прямоугольные оси. Пусть а —угол, образованный скоростью с осью Ox (рис. 138). Проектируя на нормаль. 302
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
Kcos =
Второе уравнение получится при проектировании на касательную. Однако
dx
проще исходить из наиденного выше свойства, что проекция -щ- скорости
равна некоторой постоянной а, откуда и cos а = а.
Исключая скорость из обоих уравений, получим естественное уравнение траектории
Kp cos3 a = const.
Если, например, положить K=Const., то получится уравнение
р cos2 а = к,
О
Рис. 138.
являющееся естественным уравнением параболы.
217. Движение тяжелой точки в пустоте. За начало координат примем начальное положение точки, ось у направим вертикально вверх, а ось х—по горизонтали в плоскости траектории. Уравнения движения будут
d?x diy
т -г^- = 0, т —— = — '
dP
dt*
— — mS-
Обозначая через а угол, образованный начальной скоростью V0 с осью Ох, получим из первого уравнения
dx
dt
= V0 COS а,
X = V0t COS a.
Второе уравнение также интегрируется сразу и мы получаем
dy
dt
= — gt + vо sin a,
St2
у = _ -f ti0t Sin a.
Уравнения (1) и (Г) определяют скорость:
V2 = V20 cos2 a + (t/0 sin a — gtf = v0 — Igy.
(1) (2)
О') (2')
(3)
Численное значение скорости в каждый момент времени получается таким, как если бы точка падала без начальной скорости из положения с ординатой v0?g. Формула (3) непосредственно вытекает из теоремы кинетической энергии.
Исключая t из равенств (2) и (2'), получаем уравнение траектории
gx1
2v0 COS2 a
Jftg a.
Это — парабола с вертикальной осью, обращенная вогнутостью вниз (рис. 139). ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 303"
dy
Если угол а отрицательный, то, как видно из равенства (Г), будет
все время отрицательным. Следовательно, у будет монотонно убывать, и движущаяся точка никогда не пройдет через вершину параболы.
dy
Допустим теперь, что а > 0. Тогда , или, что то же, у', будет вначале положительным, и точка будет подниматься. Она будет подниматься
до тех пор, пока у' не обратится в нуль, что произойдет по истечении промежутка времени ^0, определяемого уравнением
. f\ 4- vоsin а
— gt0 + V0 Sin а = 0, t0^~
g
Так как при этом высота точки достигнет своего максимума, то ее скорость на основании равенства (3) будет иметь минимум. Координаты наивысшей точки 5 параболы — ее вершины—будут
X0 = v0t0 cos а :
V0 sin 2а
ч
Уо = — ^yl + vo(o sina — 2^ s,n2
,2 а
gtl , , , vi
По истечении промежутка времени t0 проекция у' скорости станет отрицательной и движущаяся точка начнет опускаться. На одной и той же высоте, как при движении вверх, так и при движении вниз, точка будет иметь одинаковую по абсолютному значению скорость. В частности, она пройдет через точку А, находящуюся на одной высоте с точкой О, со скоростью t/0. Горизонтальное расстояние OA равно удвоенной абсциссе X0 вершины:
vi Sin 2а OA = —-.
Чтобы при заданной начальной скорости расстояние OA имело возможно большее значение, необходимо, чтобы sin 2а имел максимум, т. е. чтобы 304 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
угол а был равен 45°. Допустим, что требуется попасть в точку В оси Ох,
vI
абсцисса которой меньше, чем —. Наклон стрельбы определится формулой
sin 2а = 4- OB. "о
Отсюда видно, что имеются два решения, оба отличные от 45°. Следовательно, в точку В можно попасть по двум параболам. Легко убедиться, что по нижней параболе точка попадает в цель В за более короткий промежуток времени.
Можно определить геометрически положение параболы, соответствующей заданному углу а. Для этого заметим, что все параболы, которые получаются при изменении угла а, имеют общей директрисой прямую D с ординатой Uq/2g. В самом деле, параметр параболы, описываемой движущейся точкой,
vi cos2 а и2 sin2 а равен р =- и так как ордината вершины равна у0 =
уравнение директрисы будет
,P vO > = + =
Следовательно, это — прямая D, находящаяся на высоте, которую достигнет движущаяся точка, если ее бросить вертикально вверх со скоростью V0.
Этот результат становится наглядным, если исходить из уравнения (3)
/dx\2 /dy\2
кинетической энергии. Так как и3 = I — j + 1 -^J , то это уравнение показы-
»S
вает, что в мнимых точках пересечения траектории с прямой у =
получается = ± і. Следовательно, эта прямая является директрисой параболы.
