Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
У = та4"(х) + У(х, у, -?1. -?-.') [У-/<¦*)].
где Ч?- — произвольная функция. Эта сила действительно обращается в тсРр'(х) на заданной траектории. Если, исходя из одного из этих законов для силы, определить вызванное ею движение, то при подходящем частном выборе начальных условий получится заданная траектория у = /(х).
Возьмем, например, окружность
у = Y№ — Xі. Применяя вышесказанное, получим законы
Y= — , Y=---.
' уЪ ' 1 ? '
(«2 —Л:2)2
Для этих двух законов получатся два совершенно различных семейства конических сечений, но каждое из них содержит окружность у = YR2—X0-.
219. Криволинейное движение тяжелого тела в сопротивляющейся среде. Когда снаряд находится в движении, его центр тяжести движется так, как если бы в нем была сосредоточена вся масса ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 307"
тела и к нему были приложены все действующие на снаряд внешние силы.
В случае, которым мы занимаемся, на центр тяжести действуют две силы: вес снаряда и сопротивление R среды, которое является равнодействующей поверхностных сил (давлений и трений),' перенесенных параллельно им самим в центр тяжести. Эти поверхностные силы, взятые в совокупности, могут, вообще говоря, приводиться к результирующей силе R, приложенной в центре тяжести, и к паре. Если форма снаряда произвольна, то о направлении этой равнодействующей ничего не известно, и эта сила мо-жет вывести центр тяжести из вертикальной плоскости, в которой он выпущен в момент ^ = 0. Но если снаряд является сферическим и он не вращается, то равнодействующая лежит в вертикальной плоскости, содержащей скорость центра тяжести G и вследствие симметрии траектория этой точки является плоской. Для возможно большего упрощения мы допустим, кроме того, что эта равнодействующая является силой R, направленной в сторону, противоположную скорости v центра тяжести. Сила R будет возрастающей функцией скорости о. Мы назовем эту силу R сопротивлением воздуха.
Если допустить, что сопротивление R лежит в вертикальной плоскости, проходящей через центр тяжести, то можно доказать аналитически, что траектория плоская. В самом деле, отнесем движение к трем прямоугольным осям Ох, Oy, Oz, причем ось Oz направлена вертикально вверх. Если через Rx, Ry, Rz обозначить проекции силы R, то уравнения движения будут:
d*x п d."- у п d"-z п
т -др-= Rx, m-fi2 =Ky mSfi =Rz-mg-
Из первых двух выводим
d"-x d°-y df- _ dt°-Rx Ry
Но так как предположено, что вектор R прямо противоположен
V, то проекции Rx и Ru пропорциональны производным ^r и — .
* dt dt Вследствие этого предыдущее соотношение принимает вид
dtx d."- у
dtг _ dP
dx ~~ dy ' dt dt
откуда, интегрируя, найдем 308
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
Потенцируя и снова интегрируя, получим
у = Сх-\-С\
Отсюда следует, что кривая является плоской и ее плоскость вертикальна. Это — плоскость горизонтальной проекции начальной скорости.
Примем эту плоскость за плоскость ху, начальное положение движущейся точки за начало координат, ось Oy направим вертикально вверх, а ось Ox по отношению к Oy направим в ту же сторону, в какую направлена начальная скорость.
Будем исходить из естественных уравнений движения. Обозначим через S дугу OM траектории, через а — угол скорости v с осью Ox
и через р — радиус кривизны MC (рис. 141). Действующие на точку силы суть вес mg и сопротивление R. Их равнодействующая всегда расположена относительно касательной R со стороны отрицательных у. Но так как эта сила всегда направлена в сторону вогнутости, то траектория направлена вогнутостью в сторону отрицательных у. Следовательно, угол а будет все время уменьшаться. Его начальное значение равно известной величину а0. В наивысшей точке траектории он обращается в нуль и далее продолжает уменьшаться. Мы увидим в дальнейшем, что его предельное значение равно —тг/2.
Проектируя силы на касательную Mv, получим (п. 200)
Рис. 141.
dv „
т-ЩГ=Р* = -
mg sin а — R.
В этом уравнении R есть функция скорости, которую мы напишем так:
R = mg(f (v).
Поэтому
= ~ S [Sina+ <p(u)]. (1)
Проектируя теперь на нормаль, получим mv*-
Ho
ds
da
¦ mg cos a.
ds_ dt__
dt da~~
dt_ da ' ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 309"
Здесь нужно взять знак минус, так как с возрастанием s угол а убывает, а р есть абсолютное значение радиуса кривизны. Внося это значение в предыдущее уравнение, получим
/ПЧ
-V-Ot=Scosa- (2>
Уравнения (1) и (2) позволяют найти t и v в функции а. Исключим из них dt, деля их почленно друг на друга; получим уравнение
dv -t+ (3>
I r, 4 '
V da ь 1 cos a
Это — уравнение первого порядка. Отсюда находим v в функции а:
V = ф (а).
После этого из уравнения (2) получим
=-±[mda. (4>
g J cos а
t
g
Можно выразить также х и у в функции а при помощи новых квадратур. В самом деле, имеем:
Ifmw
dx = v cos а dt, х =--/ [ф (а)]2 da.,
а
dy = V sin а dt, у = — -j J [ф (а)]2 tg а da.
(5>
Таким образом, если удастся найти функцию ф(а), то задача приведется к простым квадратурам. Выражение
