Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Установив это, допустим, что дана касательная к траектории в начале координат. Тогда фокус F будет находиться на такой прямой OF, что прямая Ov0 будет биссектрисой угла FOD. Кроме того, он будет находиться на окружности радиуса OD, описанной из точки О, как из центра. Следовательно, он находится на пересечении этой окружности с прямой OF. Построение показывает, что геометрическим местом фокусов парабол является окружность с центром в точке О радиуса OD.
Поставим себе задачей найти угол, под которым нужно выпустить снаряд, чтобы попасть в заданную точку M1 (X1, ух) плоскости. Введя обозначение tg а = и и подставив в уравнение траектории координаты X1, заданно^ точки M1, так как траектория должна пройти через эту точку, получим для определения и уравнение второй степени
вА
Уі = ---4(1+в») + ««і. (1)
Условием вещественности корней является выражение ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 305"
Для его геометрического уравнение
истолкования рассмотрим параболу, имеющую
Ig
— У —
8
2 vi
:0.
(3)
Эта парабола имеет параметр v^jg и вершину в точке х = 0, у = ^ ,
т. е. в точке ?>; следовательно, ее фокус находится в начале координат. Условие вещественности (2) выражает, что точка Af1 должна быть внутри этой параболы («параболы безопасности») или на ней. Если точка Af1 находится внутри параболы безопасности, то уравнение для и имеет два различных вещественных корня и тогда в точку Af1 можно попасть двумя различными способами, выпуская снаряд под двумя различными углами (рис. 139). Если точка Af1 находится на параболе безопасности, то уравнение для и имеет двойной корень и тогда в точку Af1 можно попасть только одним способом. В случае, когда уравнение для и имеет два различных корня, имеются две траектории, проходящие через Af1, соответствующие двум значениям O1 и а[ угла о. Время, затрачиваемое на достижение точки Af1 по обеим траекториям, равно соответственно
U =-
X1
V0 cos o1
'1=-
X1
Более короткое время соответствует меньшему из углов o1 и o1 .
Парабола безопасности является огибающей траекторий, получающихся при изменении угла о, т. е. величины и. В самом деле, для нахождения огибающей кривых, представляемых уравнением (1), в котором и — переменный параметр, достаточно выразить, что это уравнение, рассматриваемое как уравнение относительно и, допускает двойной корень. Но это как раз то, что мы делали для нахождения параболы безопасности.
Эти результаты могут быть также легко получены и геометрически (рис. 140). Пусть нужно построить параболу, проходящую через две точки и имеющую заданное направление. Ее фокус, как мы видели, находится на окружности радиуса OD с центром в точке О. Он должен также находиться на окружности с центром в точке M1, через которую должна проходить парабола, и радиусом, равным перпендикуляру M1P, опущенному из точки Af1 на директрису D. Эти две окружности могут пересечься в двух точках: F и F'. Следовательно, могут быть две параболы. Чтобы эти окружности пересекались, необходимо, чтобы расстояние OAf1 между центрами было меньше суммы и больше разности радиусов. Последнее условие, очевидно, выполняется, так как OAf1 > OQ, a OQ есть разность радиусов. Следовательно, достаточно написать
OM1 < OD + Af1P.
Рис. 140.
Проведем прямую Д на расстоянии 2 OD от оси х и продолжим Af1P до точки пересечения П с этой прямой. Тогда условие, которое должно выполняться, примет вид
M1O < Af1ZZ 306
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
Но геометрическое место точек, для которых M1O = M1IJ1 является параболой с фокусом в начале координат и директрисой Д; это и будет парабола безопасности. Если точка JM1 находится внутри этой параболы, то в нее можно попасть двумя способами; если она находится на параболе, то имеется только одна траектория, проходящая через эту точку. Для такой точки JM1 фокус траектории и фокус параболы безопасности лежат на одной прямой с точкой JM1. Элементарное построение, определяющее касательную в точке JM1, показывает, что эта касательная является одной и той же для обеих парабол. Отсюда вытекает, что парабола безопасности является огибающей всех траекторий.
218. Определение параллельной силы по заданной траектории. Мы исследовали задачу, заключавшуюся в том, что по заданной силе, параллельной оси Oy, нужно было найти движение, которое эта сила сообщала материальной точке. Можно задаться обратной задачей: зная плоское движение, при котором проекция точки на ось х движется по этой оси равномерно, найти закон сил, параллельных оси у, которые могут вызвать это движение.
Зададимся траекторией у = f(x), по которой движется точка под действием силы, параллельной оси Oy. По предположению, x=at-\-b и уравнение траектории определит у в функции t, если заменить в нем х его значением. Тогда получим
Следовательно, закон силы будет такой:
Y ~ т -Jft — ma^f" (¦*)•
Полученное выражение силы можно преобразовать при помощи уравнения траектории. Из этого уравнения можно, например, определить х в функции у и выразить силу через эту одну переменную, но можно также заменить часть значений X через у, а другую часть—через t или в общем виде закон изменения силы можно выразить так:
