Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
3°. Точка отталкивается неподвижным центром пропорционально расстоянию. Уравнение движения
<frx ип d"-x
¦ k'x- —тії--A2Jf = О
dtз ' dt2
является линейным с постоянными коэффициентами и его общий интеграл имеет вид
ем + е-ы щ ем_е-ы X-X0 2 +1--2 '
где Jf0 и V0 — начальные абсцисса и скорость. Если 286
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
то уравнение для х принимает вид
X =
В этом случае точка неограниченно приближается к отталкивающему центру, никогда его не достигая, так как при неограниченном возрастании времени абсцисса х стремится к нулю.
Применение теоремы кинетической энергии. Можно применить другой метод исследования и интегрирования.
Умножим обе части уравнения движения на 2 и проинтегрируем.
Получим
где Л = Vg — k2x0. Следовательно,
Допустим сначала, что V0 > 0. Тогда точка будет все время удаляться от отталкивающего центра и ее скорость будет неограниченно возрастать вместе с X.
Допустим теперь, что V0 < 0. Так как в начале движения скорость отрицательна, то перед корнем нужно взять знак —. Пусть Л > 0. Пока точка приближается к началу 0, ее скорость уменьшается до значения У А; с этой скоростью движущаяся точка проходит через начало О и удаляется с неограниченно возрастающей скоростью. Если Л отрицательно, то его
можно положить равным — В и тогда получим
О Д M0 * dx
Рис. 133.
где а обязательно меньше х0, так как при х = х0 скорость V0 вещественна. Следовательно, движущаяся точка приближается к точке А (рис. 133) с абсциссой а и-приходит в эту точку за конечный промежуток времени, так как время, необходимое для прохождения отрезка пути X0 — х, равное
1 ? -dx k J Yx2-O?
стремится к некоторому пределу Т, когда х стремится к а. По истечении промежутка времени T скорость меняет знак и точка неограниченно удаляется от А с постоянно возрастающей скоростью.
Интересно исследовать промежуточный случай, когда A=O, или
V0 = ±kx0.
Положим
V0 = - kx0,
тогда
^=- Y&x* = —Ьх.
Скорость неограниченно уменьшается по мере того, как точка неограниченно приближается к началу О. Но она не может достигнуть его за ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 287"
конечный промежуток времени, так как время, необходимое ей для того, чтобы подойти к началу н& расстояние х, равно
і = | In
k J X k X
X0
а это выражение неограниченно возрастает, когда х стремится к- нулю. Точка О отличается той особенностью, что она является положением неустойчивого равновесия; движущаяся точка, помещенная в начало О без начальной скорости, останется в покое; но если ее немного удалить, то отталкивание удалит ее еще больше. Чаще всего, когда движущаяся точка приближается к положению неустойчивого равновесия со скоростью, стремящейся к нулю, она к этому положению неограниченно приближается, никогда его не достигая.
4°. Движение точки, притягиваемой неподвижным центром, обратно пропорционально квадрату расстояния.
Когда X положителен, тогда X = — р-'х-; если х отрицателен, то надо принять Х=рJjfl. Мы рассмотрим первый случай. Тогда уравнение движения, если положить (і = т№, будет
(F-X ^
dt* х°- '
dx
Умножим его и» 2 и проинтегрируем. Получим выражение теоремы кинетической энергии
( dx \2 2*2
Ьг) = —+ л-
2 ?2
где h = V0--. Предположим, что точка выходит из Af0 с начальной
xO
скоростью U0- которая или отрицательна, т. е. направлена к точке О, или равна нулю. Тогда вначале нужно принять
dx л Г Ш J- н
и движущаяся точка будет приближаться к точке О с неограниченно возрастающей скоростью, что физически невозможно, так как тогда удар должен был бы произойти раньше, чем расстояние между обеими точками обратится в нуль.
Если точке сообщается движение в положительную сторону, то сначала надо принять
dt=+V
Если h 0, то по мере того, как х возрастает, скорость v убывает, но остается все время больше чем У*А; следовательно, точка будет неограниченно удаляться и так как при этом ее скорость стремится" к У А, то через некоторое время движение можно рассматривать как равномерное.
Если h = 0, то движущаяся точка обязательно достигнет любого положения на прямой, как бы удалено оно ни было, так как между точкой Af0 и произвольной точкой P с абсциссой р скорость больше чем У*2Щр\ из этого следует, что движущаяся точка неограниченно удаляется со скоростью, стремящейся к нулю. 288 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
Ik"-
Если h отрицательно, то, полагая Л =--—, приведем уравнение движения к виду
W-
dx_ ГIkT- Ik"-
dt ~ V X а
причем а > X0 (рис. 134), так как радикал должен быть вещественным при X = X0. Скорость будет сначала направлена в положительную сторону
и будет уменьшаться, пока х воз-
! і__і-1- растает. Движущаяся точка будет
О Mg ? Д приближаться сколь угодно близко
к точке А с абсциссой а и до-Рис. 134. стигнет ее за конечный проме-
жуток времени. После этого движение переменит направление, так как сила — притягивающая и она стремится, как и в случае, когда и0-<0, привести точку в начало О.
