Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
209. Некоторые случаи, когда движение точки прямолинейно.
1°. Силы постоянного направления. Если движущаяся точка, выходящая из некоторого положения M0, находится под действием силы постоянного направления и если ее начальная скорость V0 равна иулю или параллельна этому направлению, то траекторией будет прямая D, проведенная из M0 параллельно заданному направлению. Это свойство можно рассматривать как очевидное из соображений симметрии, так как нет никакой причины, которая заставила бы точку сойти с этой прямой D в ту или другую сторону. Можно это свойство установить также аналитически. Оси координат можно всегда выбрать так, чтобы сила- была параллельна оси Ох. Тогда проекции Y и Z силы на оси Oy и Oz будут равны нулю и поэтому
где а и b — проекции начальной скорости на оси Oy и Ог; но так как эта скорость равна нулю или параллельна оси Ох, то а и b равны нулю. А если производные величин у и z равны нулю, то эти величины постоянны,
я точка перемещается по линии, параллельной оси Ох.
2°. Центральная сила. Если точка, выходящая из M0, находится под действием силы, направление которой все время проходит через неподвижный центр- О, и если начальная скорость V0 равна нулю или направлена по прямой OM0, то точка останется на прямой ОМ. Этот результат также очевиден из соображений симметрии. Его можно получить аналитически, приняв О за начало и заметив, что на «сновании теоремы, изложенной в п. 203 для проекций движения на все три координатные плоскости, имеет место закон площадей. Имеем, например.
II. Прямолинейное движение
откуда
у = у0, Z = Z0 ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 281"
где С—момент скорости относительно оси Oz. Но в начальный момент скорость либо равна нулю, либо проходит через точку О. Ее момент относительно оси Oz равен нулю и С = 0. Следовательно,.
dx _ dy
и, интегрируя от начального момента времени до момента t, получим:
X _ у X _ у
"3?"- "Po"' "Po"'
Точно так же, проектируя на плоскость yOz, найдем
JL = JL
Уо. го '
Следовательно, точка остается на прямой OM0.
3°. Учет сопротивления среды. Предыдущие теоремы останутся справедливыми и в том случае, если присоединить к рассмотренным силам силу сопротивления среды, направленную в сторону, противоположную скорости. Это по-прежнему вытекает из симметрии к может быть установлено аналитически в качестве упражнения.
4°. Точка, вынужденная двигаться по прямой. Можно, наконец, представить себе точку, находящуюся под действием заданных сил и описывающую прямую,, например, точку, находящуюся в прямолинейной трубке бесконечно малого поперечного сечения. Тогда со стороны трубки возникает сила реакции, но равнодействующая всех приложенных к точке сил будет направлена по прямой, так как она равна произведению массы на ускорение.
210. Уравнение прямолинейного движения. Простые случаи интегрируемости. Возьмем частный случай, когда движение прямолинейно, и примем прямую, описываемую точкой, за ось Ох. Уравнение движения будет
сРх V /1Л
т~ш=х- (1)
Наиболее общим случаем будет тот, когда X одновременно зависит от X, v и t. В этом случае
d*x _/ еРх Л
dx
так как алгебраическое значение скорости v есть . Это—дифференциальное уравнение второго порядка, позволяющее определить х в функции t. Общий интеграл содержит две произвольные постоянные:
X = fit, с, с'). Эти постоянные определяются из начальных условий: xO = /(*«. С' с')> vO = ^itO- С' О- 282
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
Может случиться, что аналитическое выражение силы изменяется л зависимости от положения точки или направления скорости. Призер такого рода встретится в упражнениии 4 п. 211.
Интегрирование дифференциального уравнения (1) приводится к квадратурам, когда X содержит только одну из величин х, v и t. 1°. Сила зависит только от положения. Пусть сначала
d"-x . .
Умножая обе части на 2 , получим
_ d-x dx _ . . dx
2mIm^F = 2tPW HF
и, интегрируя, найдем
X
Это уравнение представляет собой не что иное, как уравнение кинетической энергии, примененное к рассматриваемому частному случаю. Для определения постоянной положим х — х0, что даст для Л зна» чение mv\. Если выполнить вышеуказанную квадратуру, то получатся уравнения вида
Здесь нет никакой неопределенности в выборе знака, так как при
je = X0 должно быть (^yfi—j =Vo- Следовательно, перед радикалом
нужно ставить тот знак, какой имеет V0. Если равно нулю, то движение будет происходить в сторону силы, что опять определяет знак радикала. Тогда можно написать
X
dt _ dx _t _ Г dx
±YW)' 0 J ±VT(S)'
Xj
Это уравнение, разрешенное относительно х, выражает закон расстояния; непосредственно оно выражает время, необходимое для перемещения на дйнное расстояние. Мы исследуем его более подробно дальше (п. 211, пример 6), после того, как рассмотрим несколько Простых частных случаев.
2°. Сила зависит только от скорости. Допустим теперь, что X есть функция только скорости v. Написав
dv , . ., mdv
«Я-= ?(«). dt = —w ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 283"
