Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 124

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 205 >> Следующая


і _

гп Г ф (z0u)Y Z0 du

2 J yjzzn '

T =

dT ГИГ с г (г°и) г°и + і V {г°и) „

aFo = V T J -у^^- ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 299"

или, возвращаясь к переменной z = z0u,

dz0 V 2 J z.Yz. — z

Это выражение должно быть равно нулю, каково бы ни было Z0, для чего подынтегральная функция должна тождественно обращаться в нуль. В противном случае можно будет выбрать Z0 настолько малым, чтобы в пределах от 0 до Z0 эта функция имела постоянный знак и тогда интеграл не будет равен нулю. Следовательно, функция ф должна удовлетворять дифференциальному уравнению

Zf(Z) + ^' (Z) = О,

из которого получим

4" (*)



1- = 0. ^(Z)Vz=C, ty(z) = 2CVz+C'.

Так как обращается в нуль вместе с z, ибо переменные z

и X обращаются в нуль одновременно, то С' = 0 и ф (z) = 2C]/rz. Из уравнения х = ф (z) получим, наконец,

X = 2 C-Vz, z =

откуда видно, что ср (jc) = и

X=-J(X) = -^f.

Следовательно, единственной зависящей только от х силой, вызывающей прямолинейное таутохронное движение, является притяжение, пропорциональное расстоянию. Это движение было рассмотрено выше (п. 211).

2°. Равнодействующая сил зависит от положения и скорости точки. Мы ограничимся для этого случая лишь некоторыми библиографическими ссылками. Лагранж указал (M6moires de Berlin, 1765 и 1770) общий закон силы, при которой таутохронизм будет обязательно иметь место и который как частный случай содержит предыдущий закон. Но, как заметил Бертран, формула Лагранжа не дает всех законов для силы, при которых движение будет таутохронным.

Отметим также статью Бриошй, содержащую формулу, более общую, чем формула Лагранжа (Annali ... da Tortolini, Rome, 1853 и M^canique de Jullien, т. 1), и статью Гатона де ла Гупийёра (Journal de Lioville, 2 сер., т. XIII). (См. упражнение 5 и 6.)

214. Дан закон прямолинейного движения, найти силу. Эта задача будет определенной в зависимости от того, будет ли дан общий закон прямолинейного движения с двумя произвольными постоянными или только частный закон движения.

А. Допустим, что дано

x = <i(t, Jf0, v0), (1) 300 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки

где X0 — начальное положение точки при t = 0 и V0 — начальная скорость» Нужно найти закон силы, способной сообщить заданное движение точке, пущенной из произвольного положения JC0 с произвольной скоростью V0. Эта задача является определенной. Имеем

~ = <t'(t,x0,v0), (2)

сPx

X = т = Ttvf (t, Jf0, K0).

Разрешая уравнения (1) и (2) относительно X0 и V0 и подставляя в выражение для X, получим искомый закон



Пример. Если заданное движение определяется формулой x2=-~ + ixo + v0t)\

xO

то

JC3

Б. Если, наоборот, дан только частный закон движения, не содержащий произвольных постоянных, или содержащий только одну произвольную постоянную, то задача будет неопределенной. Допустим, например, что постоянной нет вовсе и что дано

* = ?<0. (3)

Тогда имеем

V = Ij' (О, X = m<ij" (t).

Из этих уравнений можно бесчисленным множеством способов получить выражение для X в функции х, v и t. Следовательно, существует бесчисленное множество законов для силы, способной произвести заданное частное движение.

Вопрос может стать точнее, если заранее подчинить X некоторым условиям. Так, например, если подчинить выражение X условию, что оно должно зависеть только от положения х, то задача становится определенной, так как надо будет найти t из уравнения движения (3) и внести его в выражение для X. Задача получается тоже определенной, если наложить условие, согласно которому X зависит только от v или только от t.

Пример. Пусть X = sin t. При t = 0 получаем Jf0 = 0, V0 = 1. Из этого уравнения имеем

V = cos t, X = — ти sin t. Отсюда получаем следующие законы для силы:

¦— т sin t, (а)

— т Y1 — v\ (?)

— тх, (f)

—у (je+ sin t), (Ь>

и далее, комбинируя первое равенство бесчисленным множеством способов. Если мы будем искать наиболее общие движения, производимые этими силами, тон получатся весьма различные движения, но все они при частных начальных ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 301"

условиях X0 = 0, V0 = 1 обратятся в заданное движение х = sin t. Так, например, для первых четырех законов силы получатся следующие движения:

л: = sin t + Ct + С', (а)

X = sin С)-\-С\ (?)

л: = С cos t -}- С' sin t, (Y)

X = Ccos —^= + С' sin —Sin^. (8)

у Z у Z

Все эти движения при подходящем выборе постоянных С и С' обращаются в X = sin t.

III. Криволинейное движение. Тяжелая точка в пустоте и в сопротивляющейся среде. Электрическая частица

215. Силы постоянного направления. Допустим, что сила, действующая на материальную точку, все время параллельна некоторому фиксированному направлению. В этом случае траектория будет лежать в плоскости, содержащей начальную скорость и направление силы. Этот результат можно считать очевидным из соображений симметрии (п. 202). Примем плоскость траектории за плоскость ху и направим ось Oy параллельно силе. Тогда уравнения движения будут

(Рх _ d? у v
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed