Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для вывода соотношений Крамерса—Кронига (1.9а) продолжим аналитически функцию є (со) на верхнюю часть комплексной плоскости, положив для этого
O = O1-Ma2 (O)2 > 0). (П.19.1)
Тогда (1.7а) приобретает вид
QO
e(G))— I=B(G)1-H(Oa)-I = J f(t)ei№Je-dt. (П.19.2)
о
Из свойств функции f (і) и наличия под знаком интеграла убывающей экспоненты ехр (—сO2/) следует, что интеграл сходится и, следовательно, функция е(со)—1 не имеет в верхней полуплоскости особых точек.
Если функция 7. (м) = 7 (ші4 'Шг) не имеет особых точек внутри замкнутого контура С, то по теореме Коши 3)
(? x(co)<f<a = 0. (П.19.3)
1J Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения.— 2-е изд.— М.—Л., 1963, § 2, п. 4.
а) См. Смирнов В. И., т. 2, п. 156.
3) С м и р н о в В. И., т. III, ч. 2, п. 5. Положим
Х(ю)
ПРИЛОЖЕНИЯ
__ b(co)—1
603.
(П.19.4)
где w0-некоторое фиксированное положительное вещественное значение ш. Выберем контур С, как показано на рис. П.5, т. е. в форме полуокружности большого радиуса R, двух отрезков по вещественной оси и полуокружности малого радиуса р с центром в точке w0; в этом случае интеграл (П. 19.3) со значением % (о) (П.19.4) равен
co0-p
<1щ If
+
B(W1)-I ,, f в (и) — 1 W1-W0
B(Oi)-I
С B(W)-I
J W-W0 (P)
dw-f
Je(W)-I
w1-w0
¦ d(s>i -f \ dw = 0.
о + р CR)
w0
(П.19.5)
Рис. П. 5.
Перейдем к пределу R —»- оо и р -—і- 0; последний интеграл равен нулю, так как b(w)—1 экспоненциально стремится к нулю при R—»-оо. Для вычисления второго интеграла учтем, что w—ш0 = ре1ф, так что при заданном р da = іре1ф dq), тогда при 𗻦 О
I
B(W)-I W-W0
d (U :
I
B(W)-I .
ре-
,«р
ipet4> dq> = і [в (W0) — 1 ] (— л).
(П.19.5а)
Наконец, сумма первого и третьего интегралов при р—»-0 дает главное значение интеграла; таким образом, из (П. 19.5а) получим
е (COl)-I
W1-W0
Ao і—/л [в(W0)-IJ = O,
что может быть переписано в виде
где мы обозначили W0 = W и W1SX.
Отделяя в последнем равенстве вещественные и мнимые части, получим
(П.19.6)
e1(w)-i =
-'-H
E2 (X)
E2 (W) =
=_± ? eIW-
Л J X— о
dx,
¦dx,
(П.19.7) (П. 19.7а)
что совпадает с первыми равенствами (1.7) и (1.7а).
Для того чтобы получить второе равенство в (1.7), преобразуем интеграл в (П. 19.7):
оо 0 оо
? Wdjt= Г JaW dx + tJ1M dx.
J X-W J X—W J X — Cu 604
ПРИЛОЖЕНИЯ
Заменим в первом интеграле правой части х на —х и воспользуемся нечетностью функции е3(х) (1.6а); правая часть равенства приобретает вид
0 0 о
что совпадает с (1.7).
Аналогично получается второе равенство в (1.7а).
Приложение 20
1. Рассмотрим некоторые существенные для нас особенности теории квантовых переходов.
Пусть полный гамильтониан системы
#(0 = ^0 + Sfc'(О, (П-20.1)
где Ж (!) — малое возмущение, зависящее от времени. Временное уравнение Шредингера с гамильтонианом (П.20.1) имеет вид
= (П.20.1а)
Разложим решение этого уравнения 1P(Z) по полной системе собственных функций ф„=и„ехр ^—невозмущенного гамильтониана
= (П.20.2)
при этом
#o«B=eBB„. (П.20.2а)
Полагая а„ (t) = a™' + a(n\t) + a„' (0+ • • • > где — невозмущенное (начальное) значение an(t), а а(п} (/), (t) — поправки первого, второго порядка малости по Sfc'(t).
Можно показать, что 1J
dak' dt
т=-тZ exPт(e*-e«) (п-20-3)
daf 1
dt
где матричный элемент
X SVknfff ехр I-(Bfc-Bll) t, (П.20.За)
Uktfrundx, (П.20.4)
и 2 подразумевает суммирование по дискретным и интегрирование по непре-
п
рывным состояниям невозмущенной системы.
2. Пусть в начальный момент времени (/ = 0) система находится в і-м квантовом состоянии, тогда а|0> = 1, а все остальные а'п = 0 (п ^ І). Нас интересует амплитуда a}1' (t) конечного состояния f к моменту времени t, если возмущение (t) «включается» в момент / = 0.
*) Шифф Л. Квантовая механика,—M., 1957, § 29. ПРИЛОЖЕНИЯ
605.
Очевидно, что O^ (0) = 0, поэтому из (П.20.3)
4"
(О
= ~Ж І ) ЄХР ~Т (<5f ""e^ V dt'' (П.20.5)
Если от времени не зависит1), то получим
1 ехр (ItofiO-
~л~ JCfi -—-
А ^f і
af
ay (0=--1- Жп
(П.20.6)
ч-
где = const, a COfi- =
Из квантовой механики известно, что квадраты модулей коэффициентов в разложении (П.20.2) определяют относительные вероятности соответствующих состояний; поэтому вероятность найти систему в состоянии / в момент времени равна
4 sin»« Г sin2 feY1
ї>(012 = Uhl1
Pr-*-
<0fi
K2
2я
Qjfit 2
(П.20.7)
Так как в начальный момент времени і = Oal- (0)== 1, 8/^ = 0, то | а^1' (/) |2 -
можно рассматривать как вероятность перехода системы в течение времени t из состояния і в состояние f.
Покажем, что квадратная скобка в правой части этого выражения при t^>l/<ufi ведет себя как б-функцня от СО /j, т. е. для больших t
t Sin2 ((Ofit/2) 2п ((Ofit / 2)2
t > 1/00,,
-o(co/f). (П.20.8)
На рис. П.6 представлен множи-тель5Іпг(соfit/2)/(ufi какфункция cof;. При (Ofi = O квадратная скобка (П.20.8) равна t/2 зі, т. е. в единицах 1/©« очень . п „ , велика. С другой стороны, полушири- и Ш Ж Ж на центрального максимума, за преде- t t t ламн которого квадратная скобка прак- Рис. П. 6. гически равна нулю, очень мала, так
