Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 205

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 199 200 201 202 203 204 < 205 > 206 207 208 209 210 211 .. 217 >> Следующая


(ui + u2) ~ (Ui-U2) приложения 585

определим нормальные координаты, полагая

„ _Ui-Ui Ui + U2

qi~TT' qt==-yf <п-5-7)

(постоянный множитель Y2 выбран для удобства). Решая (П.5.7) относительно M1 и и2, получим

уТ V7I

«і = —— (<?i + <?a), U2=-^j-(q2 — qi). (П.5.8)

Выразим теперь кинетическую энергию 5" и потенциальную Ф через нормальные координаты qi к q2 к обобщенные скорости ^1 и q2. Кинетическая энергия

5 = f w + ia)=f (Й + Й). (П.5.9)

Потенциальная энергия

Ф = у {? ("і + «Ї) + V ("і - "з)'}{(? + V) + «4) - 2y«i«,}.

В этом легко убедиться, вычисляя силы —дФ/ди-i и —дФ/ди2, действующие на частицы. Подставляя в Ф нормальные координаты по формулам (П.5.8), получим

Ф=^Ші+<?Чї). (П.5.10)

Таким образом, функция Лагранжа

X = + + (П.5.11)

Мы видим, что X в нормальных координатах qi и соответствующих обобщенных скоростях qi свелась к сумме квадратов (не содержит смешанных членов, например, пропорциональных qiq2). Легко видеть, что это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы каждая из координат гармонически зависела от времени. Напишем уравнения Лаграижа второго рода

=0 для функции Лагранжа (П.5.11). Имеем

d дХ дХ

dt dqi dqі

d дХ ¦• дХ а

=m,i7i и —=—maaqi,

откуда

dt dqi dqi

41+«$Ql = O U=I. 2). (П.5.12)

Мы видим, что qi ^ e 'в согласии с тем, что мы имели выше. В силу того, что Ф, а следовательно, и функция Лагранжа Х=5—Ф содержат в переменных Ui смешанный член —2уихи2 в уравнениях движения (П.5.1) переменные Ui и U2 не разделяются. Поэтому каждая из координат Ui зависит от времени не гармонически, а более сложно.

Введем обобщенные импульсы, соответствующие нормальным координатам qi, Pi= дХ/ dqi = mqi. Функция Гамильтона нашей системы

ЯНч, (п.5.13)

т. е. тоже содержит только квадраты канонических переменных q и р. Можно сказать, что задача определения нормальных координат системы состоит в приведении функции Гамильтона к сумме квадратов q и р. 586

приложения

Приложение 6

Вычислим две суммы

L=^et9a" и M = Zelga",

(П.6.1)

где вектор прямой решетки

3

а„ = Iifli + "202 + п3а3 = 2 nk°k («ft=1. 2. З.....G) (П.б.іа)

A = 1

и волновой вектор

3

4=^-(gibi + g2bi + g3b3) = Yi-^bi(-~<gi<~^ (П.6.16)

1=1

как это следует из условий цикличности Борна — Кармана (§ 5, п. 6). Сумма L является трехмерным обобщением выражения (4.5). Первая сумма

, (п.6.2)

где мы использовали условие: й,-аА = 2яб,-? (см. (1.3.9)).

1) дФО, тогда хотя бы одно gi Ф О и, следовательно, соответствующее

- 3 3 3
L= Xl exP . 1 1G" ^gibl Xl nkak = Xl ЄХР 2яі V -Q-ZaSini
л,л,л, »•=1 A=I Tl1FliTli . ;=і

В этом случае

'''ssexP (тг^)К l= 2 1I11V " 2

(П.6.3)

л,л,л,

НО

? V=it+i? + ...+If=Id^il=о,

так как U = ехр 2m"g/= 1, а знаменатель, согласно (П.6.3), отличен от нуля. Таким образом, в этом случае L = 0.

2) 9 = 0, т. е. все ^i = O; тогда все/,= 1 и L= 2 I"11"! 1"'= 2 1 =

I1TltTl1 TliTltIl,

= G3 = N= числу ячеек основной области кристалла.

Ясно, что случай q = b —вектору обратной решетки эквивалентен случаю Q = 0.

Таким образом,

L=Zelqan^m

1"в

где, в частности, bg =0.

Вторая сумма

M= Xl exP gigigi

2яі

Xl S'ni

і= 1

(П.6.4)

(П.6.5)

1J Удобно считать, что G—большое нечетное число. ПРИЛОЖЕНИЯ

587.

Обозначим через

(Ini \

m,-=exp I-Q- щJ , (П.6.6)

тогда

м= S mIlmI'mV- (П.6,7)

StSiSs

Рассмотрим опять два случая:

1) ап Ф 0, тогда хотя бы одно ti; Ф 0 соответствует ті Ф I. В этом случае сумма M имеет множитель

G-1

~~~ C-I G-3 G-I

2 mV=mi 2 +щ 2 +-.- + W1- а =

C-I

C-I C-I j __mG

= mt 2 [!+«,-+.,.+mf-1] = «,. 2 TZ^J=O,

так числитель 1—m?=l—exp (2яш/)= 1—1=0, а знаменатель отличен от нуля. "

2) а„ = 0 тогда все п,- = 0 и, следовательно, все /п,-=1, в этом случае, так же как и в предыдущем, сумма M = N. Таким образом,

Iqan -

M = Je =Nban0. (П.6.8)

я

Приложение 7

1. Приведем некоторые определенные интегралы, часто встречающиеся при изучении теории полупроводников 1J.

оо X __

j e-ax'dx = 2^e-ax'dx = ^r, (П.7.1)

О

QD СО

J e-M>x*dx = 2 = (П.7.2)

-<о 0 а 00 00 __

J е-dx =2 Jе-axV(11=1?-, (П.7.3)

-OD 0 а

CD

I^4=P <П-7-4)

О

оо

Je-wVdx=Jj,. (П.7.5) о

OO

J (TajtW*=-J-. (П.7.6)

1J Вывод этих формул можно найти, например, у Смирнова В. И., т. 2, с. 258, 588 ПРИЛОЖЕНИЯ

2. Определим гамма-функцию Г (г) посредством равенства

00

Г (г) =J х*-Ч-* dx. (П.7.7)

о

Определенный интеграл в правой части, взятый по вещественной переменной X, зависит от г, как от параметра. Равенство (П.7.7) определяет гамма-функ-цию для любых комплексных значений г с положительной вещественной частью. Выведем важное рекуррентное соотношение

Г(г+1) = гГ(г). (П. 7.8)

Интегрируя по частям, получим

оо 00 «

Г(г+ l)=^x*e-*dx=— J x*de-* = — xze-* j J +J zxz~1e~xdx= оо о

X

= Z J хг~Ч~х dx = zV (г), о

Для того, чтобы определить значение Г (г) для целых и полуцелых значений z, вычислим
Предыдущая << 1 .. 199 200 201 202 203 204 < 205 > 206 207 208 209 210 211 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed