Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
V/=5TS (Bffi-B ,-&»)¦ ((П.20.18)
Выражение для полного числа переходов 0^ получается из (П.20.18), аналогично (П.20.13а) суммированием по начальному состоянию і и по конечному состоянию /.
Приложение 21
Запишем подробнее, используя (3.1) и (3.3), матричный элемент (3.7а): <»', Nqj\bV\k, Nql> =
X Ф* (Г) П ^Nqi («,/)! (П'21Л)
ЧІ J ЧІ
Изменим порядок интегрирования и суммирования и выделим интегралы по электронным координатам и нормальным колебаниям решетки:
41
X
м%{[*іgradуёr(r)(r)H x
[fib;/ U^qi(Qql)(^qi)] +
LJ чі qi яі J
+ [ Ui WI grad Vei (к~Ч~к,) 'uk <r> <r)<*T] x X [jTI ^Nqj (Qqi) aIiП ^qi (Qqi) (dQqi)] I. (П.21.2)
где (dQ qj) = JJ dQqj.
91
1-ю, 2-ю, 3-ю и 4-ю квадратные скобки в (П.21.2) обозначим последовательно K+, L, К~ и L*. Рассмотрим вначале L. Интегралы от всех парПРИЛОЖЕНИЯ
609.
1Iw (Q9/) tytfqj (Qgi) Для Qqj, не соответствующих aqj, равны единице,
если Nqj- = Ngj-, и нулю в остальных случаях. Матричный элемент от aqj- ,
согласно (III. 10.25), отличен от нуля только при Nqj = Nqj--I, и в этом случае
L=<N,1 -11аяі\N,I>= У ъг1 • (П-21-3>
T qi
При этом L* = 0. Рассуждая точно так же, убедимся, что L* отлично от нуля только при N'qj = Nqj-\-1, и в этом случае (III.10.26)
і Г- + И
L* = ^Nqj + 1J aqj I Nqj у = у * . (П.21.За)
г q]
Таким образом, при взаимодействии электронов с колебаниями осуществляются только такие переходы, при которых число фононов одного сорта qj или уменьшается или увеличивается на единицу, а число всех остальных фононов остается без изменения.
Рассмотрим теперь интеграл K+ по электронным координатам г. Заменим в K+ г на ап+г', где г' меняется в пределах одной элементарной
ячейки. Учитывая, что V (г), Uk (г) и и*к, (г) трехмерно периодичны с периодами решетки, получим
eqj gradV (г) uk(r) ик. (r)d4,
(11.21.4)
где интеграл берется по элементарной ячейке и мы опустили штрих у переменной г' под знаком интеграла. Согласно (П.6.4) сумма по я отлична от нуля и равна N, если
k'=k + q. (П.21.4а)
Однако в данном случае надо учесть следующую возможность. Сумма векторов k + q может не соответствовать точке в первой бриллюэновской зоне. В этом случае для приведения вектора k' к 1-й бриллюэновской зоне надо положить
k' = k+q+bg, (П.21.46)
где — вектор обратной решетки. При этом сумма по л в (П.21.4) тоже отлична от нуля.
Рассеяние, соответствующее (П.21.46), называется процессом переброса (umklapp-prozess), оно играет существенную роль в установлении теплового равновесия в решетке (Пайерлс).
В кинетических явлениях, рассматриваемых далее, процессы переброса роли не играют, поэтому в дальнейшем мы будем их игнорировать. В случае (П.21.4а)
P * С * OV
К+ = \eqj grad Vuk (г) ик, (г) dx0 = J «ft ик, dxQ =610
ПРИЛОЖЕНИЯ
где k' = k-\-q, a d/ds означает дифференцирование по направлению eq] , Первый интеграл правой части (П.21.5) может быть преобразован к интегралу по поверхности 1J
J ~ (ukuk,V) dx0 = eqj J grad (ukuk,V) dx0 = eqj j) vuftu*,V da0, (П.21.5a)
где V—внешняя нормаль к поверхности элементарной ячейки. Так как в соответствующих точках противоположных граней элементарной ячейки ukuk,V одинаково, a eqi-v = cos (v, eqj) одинаково по величине, но противоположно по знаку, то весь интеграл (П.21.5а) равен нулю. Таким образом,
(П.21.56)
Функции Uk и uk, удовлетворяют уравнению (IV.3.8)
ytjj .^2
2m v2"A + У (r) "А ~ Tf (ft grad "*) = 1 Єа
ruV (r) + tJ?(k'grad "*')= ( eft'
2m 2m
Умножая первое уравнение на du'k,/ds, второе—на duk/ds, складывая и интегрируя по элементарной ячейке, получим
2т
дип2 , ди» „2 * '
'ISfJ 2^-,)"*"?
dT0. (П.21.6)
Преобразуем вторые слагаемые в каждой из квадратных скобок, используя самосопряженность операторов V2 и і у и равенство нулю интегралов вида (П.21.5а)
1)
j ЇГ ^ d^ = K*2 ) = J І < V4 ) ^o=
P ^u4 » P * ^u4 Г » d
2) -J -gg- iv«ft, dt0= j uk, (+ 0 V-^T0=J ^(+IVUft) dT0 =
Г <? г • і Г Г
=3 (+0 Vu4Jdx0-J-^-«VuftcfT0 = —J -^-iv«4dT0;
3) j dT°=J &("*'"*) u* ITdxa=-) u*-dTdx°-ПРИЛОЖЕНИЯ
611.
Используя эти три равенства, получим из (П.21.56) и (П.21.6) Г /Pk2 Pk'2\l С дик.
-Le*-*--I-ST-TS-JJ г* TTft-' (П.21.7)
Если эффективная масса т* равна массе электрона т, то квадратная скобка при втором слагаемом равна нулю, так как Sk=Pk2IIm и ek, = Pk'2/2m. Если эффективная масса порядка т, то эта квадратная скобка порядка Pk2Jm. Интеграл в квадратной скобке первого слагаемого порядка
ди
P ouk 1 P ouk'
J graduA ~dTdx°x^) u*-dTdx<»
где а—постоянная решетки, поэтому отношение второго слагаемого к первому порядка
Pk2 Pk _ak
т 'та '
что для полупроводников много меньше единицы.
Эта оценка имеет место, если экстремум энергии электрона находится в центре бриллюэновской ЗОНЫ В ft = 0.
Пренебрегая вторым слагаемым в (П.21.7) и используя (П.21.4а), получим
„. Pi P , Г дЧ- . Pi V Гди" диЛ /TT Ol ял
К+ = ITq J grad и* J ^T dx° =^r Ii e? і йГ Ж"dr" (П-21 -8)