Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
CC1 P CZ P
где eg—прямоугольная составляющая вектора поляризации egj-. Здесь использовано соотношение
dllV т А •
- = ^zgrad
В кубическом кристалле Uk—либо четная, либо нечетная функция ха, поэтому duk/dxa—в первом случае нечетная функция, а во втором—четная от ха. При интегрировании в (П.21.8) по ха от —а/2 до +а/2 (а—постоянная решетки) интеграл для ? ф а равен нулю, поэтому
a v а а
Можно показать, что Uk слабо зависит от ft, так что UkXUk, s=«. Так как все три прямоугольные оси в кубическом кристалле эквивалентны, то
п дик duk, du \2 1 Г
Jfgrad"!2^
для всех а.
Таким образом,
К+ T J 1 grad " |2 dT° Vеяі> <П'21 -8а)
*) Смирнов В. И. т. 2, § 11, 612
ПРИЛОЖЕНИЯ
Рассматривая три ветви колебаний: одну продольную (Z=I)C91 Il<7 и две поперечные (/ = 2, 3) eq2 и eq3 J_g, видим, что при сделанных нами приближениях с электроном взаимодействуют только продольные колебания. В результате (П.21.8а) равно
K+ = IjqC, (П.21.86)
где
C=U J I grad« PrfT0. (П.21.8В)
Объединяя (П.21.3) и (П.21.86), получим выражение (3.10) текста, равное матричному элементу, связанному с поглощением фонона.
Рассматривая случай, когда L* ф 0 и равно (П.21.За), т. е. испускание электроном фонона, легко видеть, что все отличие при вычислении К~ по сравнению с K+ заключается в том, что в этом случае
k'=k-q (П.21.9)
вместо (П.21.4а). В результате К~ отличается от AT+ только знаком. Оъеди-няя (П.21 .За) с выражением для К~, получим (3.10а) текста.
Приложение 22
Докажем соотношение (5.15), рассчитав непосредственно из квантовой механики изменение энергии электрона у дна зоны проводимости при деформации кристалла 1J.
При однородном всестороннем растяжении кубического кристалла постоянная решетки
а = а0(1+є), (П.22.1)
где а0 — постоянная решетки недеформированного кристалла и е = ец = ~ .
Если — понижение нижнего края зоны проводимости, связанное с этим растяжением, то по определению (5.4)
В однородном деформированном кристалле, так же как и в недеформирован-ном, электрон проводимости описывается блоховской функцией
• Ч> k(r) = uk{r)eikr, (П.22.3)
где uk(r)—трехмерно периодическая функция, обладающая периодом а. У дна зоны проводимости при ft = 0 модулирующая функция ыА=0 = к0 удовлетворяет уравнению (IV.3.8)
І2
-2S V1Ч+ V (г) U0 = ^u0, (П.22.4)
где V (г) — периодический потенциал, действующий на электрон, а $—энергия нижнего края зоны проводимости в деформированном кристалле.
Для применения теории возмущений необходимо, чтобы возмущенная и невозмущенная волновые функции удовлетворяли одним и тем же граничным условиям, которые для функции U0 заменяются условиями периодичности. Для того чтобы U0 в деформированном и недеформированном кристаллах удовлетворяла одним и тем же условиям периодичности, введем безразмерные
^ Пикус Г. Е,—ЖТФ, 1958, т. 28, с 2390. ПРИЛОЖЕНИЯ 612.
координаты
' — * — *
х а0 (1 + е) (П.22.5)
и аналогично для у' и г'. Очевидно, что при увеличении х на а=в0(14-е) как в деформированном (є Ф 0), так и в недеформированном (е = 0) кристаллах координата х' меняется на 1, поэтому период и0 в безразмерных координатах х' в обоих случаях один и тот же и равен 1. Переходя к безразмерным координатам г' = г/а, получим вместо (ГІ.22.4)
P
~2ІЇа~2Чґио+у(аг') uO = Su0- (П.22.6)
Обозначая через V0 и So периодический потенциал и энергию электрона (при A==O) в недеформированном кристалле, получим аналогично (П.22.6)
P
~2тао 2+ V0 (a0r') U0 = SoUo, (П.22.7)
где г' = гIa0-
Во всех реальных случаях деформация є <5*1, поэтому вычислим смещения нижнего края зоны проводимости по теории возмущений в первом порядке по є, т. е. пренебрегая поправками порядка є2, и т. д.
Из теории возмущений квантовой механики известно, что для того, чтобы определить энергию возмущения в первом приближении, волновые функции достаточно взять в нулевом приближении. Это означает, что U0 в (П.22.6) и (П.22.7) можно считать одинаковыми. Умножая (П.22.6) и (П.22.7) слева на U0 (г/а0), вычитая полученные равенства почленно и интегрируя по dx' = = dx/a%, получим
(S-So) = -IJa0-2 (1 + Е)-з V?' + V[a0(l+e)r'] +
+^aO2Vr'-^o(V')} u0dx'. (П.22.8)
Если нормировать блоховскую функцию (П.22.3) согласно (IV.3.6), то
ГU0U0 dx' = Г I U0 Iа dx =4" • (П.22.9)
J a0 J а0
Разложим первое слагаемое в фигурной скобке (П.22.8) в ряд по е и ограничимся членами нулевого и первого порядка; сократим член нулевого порядка с третьим слагаемым в фигурных скобках; перейдем обратно к переменной r = r'a0; используя тогда (П.22.9), получим из (П.22.8)
S-So = &S = є ^ j U0 V2U0 dx+ j «о {V [(1 + є) r] -K0 (r)} U0 dx. (П.22.10)
Применяя формулу Грина 1J, получим
$ U0V2u0dx = — ^ I Vu0 I2 dx + <f) uo(4u0do), (П.22.11)
где последний интеграл, взятый по поверхности элементарной ячейки, равен нулю.
Согласно гипотезе деформируемых ионов (3.3) V [(1 +є) г] =V0 (г); тогда из (П.22.10), (П.22.11) и (П.22.2), если воспользоваться определением С
») Смирнов В. И., т. 2, гл. VII, п. 203. 614
