Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
+Є2 . +е +е3 +
~ l-kx+ky-kz) -^-(-kx-ku-kz) (kX-ky-ktft
+ Є 2 +Є 2 +Є 2 ПРИЛОЖЕНИЯ
597.
(.kx + ky)
Вынося из 1-го и 5-го слагаемых множитель е , получим для них
= 2е 1 cos - 2 .
Производя аналогичную операцию для 2-го и 6-го слагаемых, 3-го и 7-го слагаемых и 4-го и 8-го слагаемых, получим в каждом случае выражение,
ak
содержащее один и тот же множитель 2 cos Вынося его за общую скобку,
преобразуем оставшееся выражение аналогично. В результате придем к формуле (7.106).
Приложение 15
Подставим волновую функцию электрона в кристалле (7.17) в соответствующее уравнение Шредингера (7.3)
Eetta" [-!^'-н'м-Ь
X {«^(r-a„) + ?i|)!/(r-a„)+v^(r-a„)}=0. (П.15.1)
Так как i|)j— волновые функции электрона в изолированном атоме,
то они удовлетворяют уравнению
где р. = *, у или г, е0 — энергия р-электрона, а Il (| г—ап|) его потенциальная энергия в поле изолированного я^го узла.
Заменяя в (П.15.1) величины —V2^n, согласно уравнению (П.15.2), получим
2 eika" (B-E0) [аф, (r-a„) + p^ (r-a„) + v^ ('-а,,)] =
п
= Jeika" [V(r)-^(|r-a„|)]x
п
X \^x{r-an)+f,%(r-an) + y^2(r~an)}. (П.15.3)
Умножим обе части этого равенства на волновую функцию нулевого узла (г) M и проинтегрируем по объему основной области кристалла. Предполагая волновые функции г)?^ ортонормированными, т. е.
J ^n(r)4>v(r)dT = 6nv (HHV = X1IZ5Z), (П.15.4)
и пренебрегая интегралом перекрытия волновых функций разных узлов, получим для левой части (П.15.3)
а(е—в0).
1J Очевидно, что по отношению к сумме 2 > взятой по всем узлам кри-
п
сталла в (П.15.3), нулевой узел эквивалентен любому узлу решетки я'; можно было бы умножить (П.15.3) на і]) (/- —a„,)r 598
ПРИЛОЖЕНИЯ
Правая часть (П. 15.3) для я = 0 будет содержать интегралы вида
<Г-™=$Ф*(г)[К(г)-<И(г)]іМг)<іт (V=*, У, г). Для v=x интеграл
JrXX = 5 Ф* (Г) [V (г) - Ю(г)]Л = -С<0 аналогично выражению (7.7). Для \ = у или v = z
S- Xy = S" XZ = Q-
(П.15.6) (П. 15.7) (П.15.8)
В последнем можно убедиться, повернув координатную систему вокруг оси г так, чтобы ось х совпала с осью у, а ось у—с осью —х. При этом, согласно (7.16), функция фл превратится в фу, а —в —Так как [V (г) — H (г)] при таком преобразовании координат в силу кубической симметрии поля кристалла останется без изменения, то весь интеграл изменит знак на противоположный. С другой стороны, при любом преобразовании координат величина определенного интеграла остается неизменной; таким образом, STxy = — аГХу> откуда непосредственно следует (П. 15.8). Из тех же соображений кубической симметрии поля кристалла следует, что
^T ХХ = &Г уу=аГ 22— С. (П.15.7а)
Учтем в правой части (П. 15.3) ближайших соседей нулевого узла, т. е. члены с а„= ± ai0, ± aj0, ± ай0, где i0, Jо и — орты прямоугольных осей х, у и Zi Им соответствуют интегралы вида
<r*v(a„0)= J ф* (г) [V{r)-%{\ r—a„a |)] ^v (r-a„0) dx, (П.15.9)
где v = x, у или г.
Рассмотрим вначале случай v = y или г. Возьмем соседний атом я0 по оси Z1), т. е. положим а„0=айо- Если учитывать только поле, создаваемое
нулевым узлом и выбранным нами соседним атомом по оси г, а это законно в той области, где волновые функции в (П.15.9) заметно отличны от нуля, то I1V (г) — cU (I г — ako I)] от азимуталь-я ного угла ф не зависит. Так как фл о» cos ф, фу о» sin ф и фг от ф не зависит, то легко видеть, что интеграл (П.15.9) при интегрировании по ф в случаях \=у или v = z равен нулю. Следует, однако, отметить, что в случае \ = х, когда интеграл (П.15.9) отличен от нуля, он будет .иметь разное значение в зависимости от того, расположен ли соседний атом вдоль оси х или вдоль осей у ИЛИ Z. В первом случае волновые функции ф*(г) и ф*(г—ai0), меняющие свой знак при прохождении плоскостей, перпендикулярных к оси X, так, как это изображено на рис. П.4, имеют разные знаки в области их перекрытия, и так как [V{r) — Cll(\r± а/о I)] < 0, то можно думать, что интеграл (П.15.9) в этом случае положителен, т. е.
«Г**(± It0)= J Ф*С) [V(r)-4L{\r T ai0 I)] ф*(г T ai0) dx= А > 0. (П.15.10) Во втором случае интеграл будет иметь иное значение, и сказать что-либо
я =0 <Гх>0 ?"ч
Ух<0 Ч у' ч /
Рис. П. 4.
1) Мы выбираем соседний атом по оси z только для того, чтобы удобно использовать привычно ориентированную систему сферических координат. ПРИЛОЖЕНИЯ
599.
о его знаке еще более затруднительно. Мы обозначим
<&~хх (± q/o)= ^xx (± ak0) =
= S Ф* (г) [V (r)-% (1 г T а/о I)] ^x (г Т а/о) dt=- В. (П.15.11)
Учитывая шесть ближайших соседей простой кубической решетки, получим для правой части (П.15.3)
« [_ с + A(eik*a+ е~ik*a) — В (e"kV+е~ikVa + ёк*а + e~ik'a)] =
= а [— С + 2A cos akx—IB (cos aky + cos akz)\. (П. 15.12)
Из (П.15.3), (П.15.5) и (П.15.12) следует
а [е—Єо+С—2Л cos akx + 2B (cos aky-\- cos akz)] =0. (П.15.13)
Если мы умножим (П.15.3) на (г) или i|)z(r) и проинтегрируем по объему основной области кристалла, то получим вместо (П.15.13) два других равенства, которые могут быть получены при циклической перестановке X, у и Z и а, р и -у, т. е.
