Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
как равна 2n/t. Остается доказать, что интеграл от квадратной скобки по dtofi равен единице
I
/ sin2 (COf jt/2) 2п (cofit/2)2
. 1 f sin2 X . ,
"»И=* J — dx=l.
так как последний интеграл равен я 2).
1J Это утверждение неточно, так как предполагается, что = Const для / > 0, но $('=0 для V < 0.
2) Бронштейн H.H., Семен дя ев К- А., с. 409. 606
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таким образом, вероятность перехода системы і—>f за единицу времени равна
Щі=\±Ш.=6(о)/,-). (П.20.9)
Так как 1J
то
Є(о(Bt-Bl),
^7 = ^1^1^(8/-8,-). (П.20.10)
Заметим, что структура квадратной скобки в (П.20.7), приводящейся к б-функции, обусловливает пропорциональность | а^1' (t) |2 времени t, т. е. независимость Wif от времени.
Для определения полного числа переходов в единицу времени Jf надо просуммировать Wif по состояниям / и /
Y і 12 6 (є> <п-20-10а) i, f <-. f
3. Если возмущение ffa' (t) гармонически зависит от времени, т. е.
Ж' (і) = ?<>(е-ш + еш), (П.20.11)
то из (П.20.5) следует
Wt
(Ofi-O) 1 Ш/і+0)
4
(П.20.12)
Это отличается от (П.20.6) тем, что имеем теперь в выражении для амплитуды а(^> (t) два слагаемых, причем первое отличается от (П.20.6) тем, что со/,- заменено на со/,-—to, а второе—тем, что сOft- заменено на to;,- + to. Первому слагаемому соответствует б (со—со), т. е. закон сохранения энергии е/ = е,- + ло), при котором система поглощает квант гш\ второму слагаемому — 6((0/,- + 0)), т. е. заксш сохранения энергии е/ = є,-—%ч>, при котором система испускает квант Tm. Обе физические ситуации не могут выполняться одновременно, поэтому надо учитывать либо первое слагаемое в квадратной скобке (П.20.12), либо второе. Например, в случае поглощения кванта im получим вместо (П.20.10)
mi=Y" I SHft I2 в (Bf-Bi-to). (П.20. із)
В случае испускания кванта 1т мы получим ту же формулу, но только перед А-ш будет стоять знак плюс.
Полное число квантов 1т (фотонов), поглощенных в 1 сек-вIcMi кристалла, в результате перехода электронов из валентной зоны (v) в зону
!) Шифф Л., с. 67. ПРИЛОЖЕНИЯ
607.
проводимости (с) равно
STw=-T1 Y1 Iа б(е,-е,—&D). (П.20.13а)
* гл
Здесь суммирование ведется по заполненным состояниям (в 1 еж3) валентной зоны (і = v) и по пустым состояниям зоны проводимости (/ = с), которые удовлетворяют закону сохранения энергии.
4. Рассмотрим второе приближение теории квантовых переходов (П.20.За); это необходимо, например, в том случае, когда электрон переходит из валентной зоны в зону проводимости, поглощая при этом два кванта—фотон и фонон.
Пусть возмущение
Ж'U) = J^e-laHt (П.20.14)
к
состоит из суммы членов, каждый из которых гармонически зависит от частоты (0?. Мы рассматриваем случай, когда система поглощает кванты Шк, что не ограничивает общности рассмотрения.
Из (П.20.3а), (П.20.14) получим для перехода і—»- через промежуточное состояние т »
^r=І L L ^U с в1' ы - «*>'=
k т
1 „ „ ь и, ., W (Pi (Mmi-Mb,"-П
—iL fi^i—Ь
к, к' tn
=__Lv V ^lm^kmi , ei {и>1ге>к-щ,) t_ei («>,т-щ) /І (п.20.15)
ipjLl Z-I (Oml-O)fe- 1
k, к' т Интегрируя, получим
Bf'(/)=-^y у ЩпЖы
' v ' P jL*. jL*. (Oml-COfe'
к, к' т
Ui*
( (Oft —COfe-(Oft, CO^m COfe і
Это выражение состоит из суммы слагаемых, зависящих от т, k и k'. Из (П.20.6) видно, что только квадраты модулей отдельных слагаемых, входящих в фигурную скобку в (П.20.16), приводят к пропорциональности I af (t) |а от времени и к соответствующему закону сохранения энергии. Квадрат модуля первого слагаемого в фигурной скобке в (П.20.16) приводит к закону сохранения энергии: e^=e/ + A.cofe-(-A.(aft/; в этих условиях можно пренебречь вторым «паразитным» слагаемым в фигурной скобке, которое появилось в результате нефизической ситуации—мгновенного включения возмущения в момент J = O1). Мы приходим к заключению, что для вычисления OJ,у = I а/2) (t) 12/t надо брать квадраты модулей отдельных слагаемых, входящих в правую часть (П.20.16) (отбросив второе слагаемое в фигурной скобке), так как только они обеспечивают пропорциональность | af (t) |а времени t и выполнение закона сохранения энергии между начальным и конечным состояниями.
J) Шифф Л., § 29. 608
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таким образом, мы для вероятности перехода і —>- f через промежуточное состояние т получим
Wif =|УУ Nf^]2 б (Zf-Zi-Uk- Uk,). (П.20.17)
Это выражение для определенного процесса приобретает более конкретный вид. В гл. VII, § 3 мы рассматриваем межзонные непрямые переходы. При этом возможен следующий двухступенчатый переход: валентный электрон вблизи k ж 0, вначале поглощает фотон, испытывая при этом прямой переход, а затем электрон поглощает фонон Uq , переходя в другую точку зоны Бриллюэна. Таким образом, переход і—»- т происходит в результате взаимодействия с фотоном U, а это значит, что = с другой стороны, переход т —>- f связан с взаимодействием с фононом Uat поэтому
к — З^фон 4
fm -jV fm '
В результате для этого перехода (П.20.17) приобретает вид
Wi
2л ^ да над
IT 12
