Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
P [е—є0 + С— 2A cos aky + 2В (cos akz + cos akx)] = Q, (П. 15.1 За) ¦у (е—Єо+С—2А cos akz-\-2B (cos akx + cos aky)] = 0. (П. 15.136)
Равенства (П.15.13), (П.15.13а), (П.15.136) могут быть одновременно удовлетворены тривиальным образом, если положить а=р = у = 0, что не представляет интереса, так как при этом волновая функция (7.17) тождественно равна нулю. Если a Ф 0, то из (П.15.13) следует
е = е0—С + 2АCosakx-2В {cosaky-\-cosakz) (П.15.14)
и, следовательно, р = -у = 0, так как в противном случае є будет зависеть от kx, ky и kz не согласно (П.15.14), а так, как это будет следовать из (ГІ.15.13а), (П.15"13б) при ?^O и у Ф 0. Таким образом, мы видим, что возможны три случая: 1) а ф 0, р = -у = 0; 2) P ф 0, a= v = 0 и 3) -у Ф 0, а=р = 0, соответствующие законам дисперсии (7.18), (7.18а), (7.186).
Приложение 16
Обозначим проекции на ось х векторов r„, rp, R и г теми же, но нежирными буквами, так как (3.2) имеют место и для проекций, то они справедливы для rnrpR и г.
Вычислим dh\>jdrn дг|> _ дг|> dR дг|> др _ тп дг|> <3і|з
dR дгп + дг дгп M dR + дг ' а»Ч> / тп а2г|> д^\тп / т„ dfy \ дгп ~~ V M dR^drdRJ M "rV M dRdr~т" дг2
_(тпу ач , „ w„ ач , ач \М J dR2 M дг dR дг* '
Аналогично
дЧ / mP У о mP
дг*р~"\ M J dR* M drdR + дг2 '
откуда
і а2ф__і _ і і а2г|>
«Я дг\ + nip дг1 - M dR*+ (і •
Так как для проекций на оси у и г имеют место аналогичные равенства, то отсюда непосредственно следует (3.3). 600
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 17
Для вычисления интеграла / (2.7) в следующем приближении введем пере-
є_г
менную ті= и разложим функцию ф(є) = ф(т|) в ряд по степеням Г].
В силу дельтаобразного характера функции ^—^ в интеграле'играют роль только значения е, близкие к т. е. малые Tj
Ф(Л) = Ф (0) + ф' (O)T1+! ^''(O) п»+... (П.17.1)
Далее,
= /-J—") dri =, e^ Ч2 А,. (П. 17.2)
Зе 3>i 1 ^rI \ е"п +1 / (1_|_е-п)2 1 ^ >
Заменяя нижний предел в интеграле /, равный —г (для переменной т|) на — оо, что допустимо, так как г^>1, получим
— ее — СО
+ оо +со
otSF^ (ПЛ7'3)
— СО — OO
Первый интеграл правой части равен единице, второй—в силу нечетности подынтегральной функции—нулю, третий равен
+ СО 00 OD
= 2(l--l+^-i+...)=2g^. (П.17.4)
При вычислении последнего интеграла мы разложили множитель (і + подынтегральной функции в ряд по е~а в конце воспользовались формулой для суммы знакопеременного ряда обратных значений квадратов натурального ряда чисел '). Окончательно
/ = ф (0) + -^r- ф" (0). (П. 17.5)
В случае (2.5)
W^-T^^-yS + W7' • (П.17.6)
Используя (П.17.5) и (П.17.6), получим для (2.5)
"=sS^ mi-
Считая, что в поправочном члене в квадратных скобках можно положить ? = и решая полученное равенство относительно которое стоит перед
1) Смирнов В. И., т. II, п. 156. ПРИЛОЖЕНИЯ
601.
квадратной скобкой, получим
Разлагая квадратную скобку в ряд по (каТЦа)2 и ограничиваясь первыми двумя членами, получим формулу (2.9) текста.
Приложение 18
По формуле Пуассона 1)
OO CC OO
E Ф(2aN + t) = ~- E еШ f ф(т)е-,7тйт.
JV=-OO " /=-00 J
В нашем случае (5.256)
<р (2nN+1) ¦
1
¦(2л N + t)
з/а
(П.18.1)
(П.18.2)
(П. 18.3) (П.18.4)
(2л)3/2
если заменить индекс суммирования N на —N и положить
J = 2ле—л.
Так как ф(2я<У+/) — вещественно, то в нашем случае
-[E-Va] < W < О,
где [дс] обозначает наибольшее целое число, заключенное в величине х. Пределы изменения аргумента функции <$(2nN+t) от 2л(е—Va)—2л [е—Va] (что при больших е, как мы и будем предполагать дальше, близко к нулю) — до t. Это определяет пределы интеграла в (П. 18.1), так как вне этих пределов (р(х) = 0.
Таким образом, Ф(є) в (5.25а) для больших є равно
00 t
(2я)5/2 ^eo J
Слагаемое для J = O равно
(П.18.5)
t
Jt'/2 =
(П.18.6)
Для суммы двух слагаемых +J и — J получим
t
(-1)'
cos (2л1е) + і sin (2nJe)
+
= (-1)'2
cos (2яIe)-і зіп(2я/є) t
J т3/2 [cos (їх) — і sin (Jt)] dt+ Jt3/2 [cos(Jt)+ і sin (Jt)] йт|=
cos (2nle) J t3/2 cos (Jt) dt + sin (2ягє) J т3/г sin (Ix) dx
. (П.18.7)
i) Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики,— 2-е изд.—М.—Л., 1951, т. 1, с. 71. 602 ПРИЛОЖЕНИЯ
При этом мы учли, что е±1'я=(—1)г, и воспользовались соотношением e±ta = = cosa ±isina. Интегрируя в (П.18.7) по частям, так чтобы понизить степень у х3/а до x~l/2, и заменяя в последнем интеграле переменную т на (л/21) хг, получим
Ф(е)=- 1
(2л)'
5/2
где
|/A^[sm(2niB)S(/4ii)+cos(2nie)C(Vr4ii)j|J , (П.18.8)
U
S (и) =J sin (у (П.18.8а)
о
и
C(«) = J cos ^y*2^ dx (П.18.86)
о
— интегралы Френеля1); функции S (ы) и С (и), так же как и тригонометрические функции, входящие в (П.18.8) с 1=1, осциллируют с периодом порядка 1, но с затухающей амплитудой; С (oo) = S (оо) = 0,5. Сумма, входящая в (П.18.8), равна2)
OD OD
? Ь^/е)1'2 =VneV^tzpL =(2ЯЄ)1/2 (-?) . (П. 18.9) I=I 1 і= і \ W
Из (П. 18.8) и (П. 18.9) сразу следует (5.26) основного текста.
Приложение 19
