Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
^ii^i -)- T22X2 T33X3 = 1. (П. 11.126)
Мы видим, что с точки зрения аналитической геометрии выбор такой координатной системы соответствует приведению тензорного эллипсоида к главным осям.
Тензоры электропроводности и обратных эффективных масс имеют в главных осях вид
/O1 (а.*)= О
О О
OnTft1)= о т-Г1 О І. (П.11.13) 594
ПРИЛОЖЕНИЯ
Величина 1: ffij , обозначаемая нами как т;, не является компонентой тензора, т. е. не лреобразуется ло закону (П.11.3); она имеет размерность массы и называется эффективной массой электрона в кристалле.
Так как тензоры электропроводности и обратной эффективной массы являются материальными константами кристалла, то направления их главных осей определенным образом ориентированы относительно осей симметрии кристалла (например, в случае кристалла ромбической сингонии главные оси параллельны ребрам элементарной ячейки). В общем случае главные оси разных материальных тензоров, например диэлектрической постоянной и обратных эффективных масс, могут не совладать. Ответ на этот вопрос может дать только микроскопическая теория этих тензоров. Если кристалл обладает такой симметрией, что главные оси тензора Xi и X2 физически эквивалентны, то, очевидно, Oi = CF2 и mi = m2. В кубическом кристалле эквивалентны все три главные оси тензора (параллельные ребрам куба), поэтому, например, тензор электропроводности
/ст О 0\
(Oik)=-. О CT 0) (П.11.13а)
\0 Q о)
и, следовательно, закон (П. 11.7) переходит в изотропное соотношение (П. 11.6а). Можно сказать, что тензор 2-го ранга в кристаллах кубической симметрии вырождается в скаляр.
Приложение 12
Блоховская функция электрона (г) = ик(г) е1кг в периодическом поле кристалла V (г) удовлетворяет уравнению Шредингера
V2^ И + |г t® W ~v С)! * =°- <ПЛ2-
Дифференцируя обе части уравнения по kx, получим
(П.12.3)
Имеем
V2-JW^)+ V2 {el*'lf)=2i . (П.12.4)
W~v v V dkrJ dx '' v Yl v V dkx
Подставляя (П.12.4) и (П.12.3) в (П.12.2), получим
+
где фигурная скобка равна нулю в силу (П. 12.1).
Умножая обе части уравнения (П.12.5) слева на ф* и интегрируя по основной области кристалла, получим
+ f Cikr [v* +Щ- (е-ю] Ф* dx = 0, (П.12.6) ПРИЛОЖЕНИЯ
594.
где при преобразовании последнего интеграла мы воспользовались самосопряженностью оператора V2. Последний интеграл равен нулю, так как г|э* тоже удовлетворяет уравнению (П.12.1). Таким образом, если учесть, что г|з нормирована на основной объем, то из (П.12.6) следует
? Г , „ дгb . 1 де mt J дх % дкх
Сравнивая это выражение с (3.28), получим (3.32).
(П. 12.7)
Приложение 13
На рис. П.3 изображен куб и прямоугольная координатная система с осями X, у и г, направленными по его ребрам. Темный кружок • изображает атом в центре куба, а светлые кружки О—атомы на его гранях. Если а—длина ребра куба и /0, j0, ka — орты координатной системы, то основные векторы решетки гра-нецентрированного куба могут быть выбраны следующим образом:
Oa ="2 Со+/о), °3=y (Уо+fto)-
(П.13.1)
Рис. П.3.
Векторы at, а2 и а3 проведены из начала координат к ближайшим О-атомам.
Из (П.13.1) непосредственно
[a2a3] = ^(i0-Jo + k0) (П. 13. la)
и, следовательно, объем элементарной ячейки
Q0 = (a-i[a2a3]) = a3/4, (П.13.16)
т. е. составляет 1Ji объем всего куба.
Для решетки объемноцентрированного куба основные векторы удобно выбрать следующим образом:
Oi=-J Со—Уо+fto), a2=y(/0+/„-ft„), a3=|-(-/o+/o+fto), (П.13.2)
т. е. направить их из начала координат О к центральным Ф-атомам кубов, расположенных спереди, снизу и слева от изображенного на рис. П.3. Аналогично были выбраны основные векторы на рис. 1.6, б. Из (П.13.2)
Объем элементарной ячейки
[аа'аз]=-|-(*о + ?о)-
^o= (ai [агоз]) = 1Z2Q3,
(П.13.2а) (П.13.26)
т. е. равен 1Z2 объема куба.
Нетрудно теперь для обоих случаев построить обратные решетки. Для гранецентрированной кубической решетки из (П.13.1а) и (П.13.16)
^i=J- IaiO3I [Wo+*ol 596
ПРИЛОЖЕНИЯ
и аналогично
Ьг=-Д- [а3аг] (to+Jo — к0),
^ 1 (П. 13.3)
Для решетки объемноцентрированного куба аналогично из (П.13.2а) и (П.13.26)
bi = -J7- \wia3]=¦і- (t0 + ao),
Ь'О
&з = -[г[аза;] = ^-(/о+Уо), (П.13.4)
Q0
[alaa]=-i (Уо + Ao).
Сравнивая (П.13.3) с (П.13.2) и (П.13.4) с (П.13.1), видим, что для гране-це'нтрированного куба обратная решетки — объемно-центрированный куб и наоборот.
Приложение 14
1,8 .ka
Для вычисления суммы Ze л°в случае решетки объемноцентрирован-
«о
ного куба обратимся к рис. П.З. Вектор аПп = аі. Для •-атома в центре куба
аі=у(*о+/о + *о). (П.14.1)
Аналогично для остальных семи атомов
flS = Y (— *о+Уо + *о). flS=Y (— /о—Уо + fto).
а4=7Г (fO —Уо + *о). flS = Y (fO +Jo-*о).
flS=Y (~/о+Уо —A0), O7=-^ (— Ia-Ja-k0),
flS = Y Уо —
(П.14.1a)
Из (П. 14.1) следует
^ai = Y + +
и аналогично для произведений Aa,- ((' = 2, 3, ..., 8) из (П.14.IaJi Таким образом,
ikan — ^х+ку + к^) J±(-kx + ky+kz)
2Jf '=е +г +
По
¦^{-Ьх-ку + кг) i?L(kx-ky+k2) J±(kx + ky-kz)
