Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
г
Х\ = ATiaii + AT2OCi2 + AT3OCiS,
AT2=ATja2i+AT20!22 4-AT2a2,„ (П.11.1)
= AT1Ct3I-J- *2а32 Ar3CX33
или короче
3
Xi=JaikXk (/=1,2,3). (П. 11.2а)
U= і
3
Xi=JakiXk (/=1,2,3). (П. 11.26)
A=I
Дадим теперь строгое определение понятия вектора. Будем под векотром понимать совокупность трех величин Ai (і= 1,2,3), которые при переходе от одной координатной системы к другой преобразуются по законам (П. 11.2а) и (П. 11.26), т. е.
A\ = JaikAk, Ai = JakiAl (П.11.2в)
к к
2. Рассмотрим, по какому закону преобразуются при переходе от одной координатной системы к другой произведения вида AiBk=Tik из составляющих двух векторов А и В.
Очевидно,
T[к= AiBk = JailAt JakmBm= 2 aUakmAiBm» Im I, т
T, Є.
T'ik= 2 aUakmTcm. (П.11.3)
/, т
Всякая совокупность девяти величин
/ Tіі Ti, Ti3 \ (?«) = ( T2i T22 T23 , (П. 11.4)
\ T3i T32 T33 J
преобразующихся по закону (П. 11.3), называется тензором 2-го ранга. С этой точки зрения естественно вектор и скаляр назвать тензорами 1-го и нулевого ранга. Аналогично тензорами 3-го ранга называется совокупность 27 величин Tiki, преобразующихся по закону
T'ikl= 2 aImaknaIpT тпр' (П. 11.5)
т, п, р
3. Таким образом, тензор не есть просто совокупность скалярных величин, остающихся постоянными при переходе к новой координатной системе, а есть некоторая совокупность величин, преобразующихся при этом по определенному закону.
В физике тензоры появляются обычно как коэффициенты в соотношениях, связывающих между собой компоненты различных векторов и скаляры с век-
*) См. Приложение 3, п. L 592
ПРИЛОЖЕНИЯ
торами. Рассмотрим примеры тензоров. В изотропной среде дифференциальный закон Ома имеет вид
J = OEr (П.11.6)
где /—вектор плотности тока, E—вектор напряженности электрического поля и а—удельная электропроводность вещества в некоторой точке. В проекциях на прямоугольные координатные оси имеем
І * = °?*> Іу = аЕу> І z = z. (П.11.6а)
В случае анизотропной среды (П. 11.6а) обобщается посредством естественного предположения, что каждая составляющая плотности тока—однородная линейная функция всех составляющих напряженности поля, т. е.
Іх = GxxEX ~І~аХуЕу~ї~ 0XzEgt
Іу=аухЕх + оууЕу + оугЕг, (П.11.7)
І г = агхЕх + O2vEv + OzzEz
или короче
(П.11.7а)
k
где индексы і и k принимают значения х, у и z или соответственно 1, 2 и 3.
При переходе к штрихованной координатной системе векторы /,• и Ek преобразуются по закону (П.11.2в). Можно показать, что величины ад преобразуются 'при этом по закону (П.11.3), т. е. образуют тензор 2-го ранга. Из (П.11.7а) и (П.11.2в) следует
ZaHll =20''* 21
I к т
Умножая обе части на ап; и суммируя по і, получим
2 ( 2 а"а»' ) І'1 = 2 Ґ2 апі<*тіРік \ Е'т. І \ і } т \ і. к J
Используя для левой части (П.3.1), получим
In = ^nmEm, (П. 11.76) т
где
о'пт = 2 ^nfimlflik' (П. 11.7в)
I, к
Из сравнения (П.11.7в) с (П.11.3) видно, что коэффициенты в (П.11.7) являются компонентами тензора 2-го ранга.
Можно показать, что тензор электропроводности
aXy QXz
(о1к)={аух Ovv оу2 ) (П.11.8)
0zx azy а..
является симметричным тензором, т. е.
aih = ahi. (П. 11.9)
Таким образом, компоненты, расположенные симметрично относительно главной диагонали тензора Oii, одинаковы.
В изотропных диэлектриках существует следующая связь между напряженностью электрического поля E и вектором электрической индукции D:
D=BE, (П. 11.10) ПРИЛОЖЕНИЯ
593.
где е—диэлектрическая постоянная. Для анизотропных сред (кристаллов) это соотношение обобщается следующим образом:
D1=JeikEk, (П.11.10а)
k
где Eik—симметричный тензор диэлектрической постоянной.
Энергия электрона в кристалле вблизи ее экстремального значения равна, согласно (3.18),
е (ft)-е (ft0) = Ab = 1I2JmTi1PiPi, (П.И.11)
і, і
где pi и Pi — составляющие вектора квазиимпульса электрона, тії'—величины, определяемые равенством (3.19), і и I — индексы, принимающие значения х, у и г (или 1, 2 и 3). При переходе к новой (штрихованной) координатной системе величина энергии Ae не меняется, а составляющие вектора р преобразуются по формулам (П.11.2в)
Pi = Ja-niPn, Pi = JasiPs.
п S
Таким образом,
(Ae)=I-J^ PnPs, (П.11.11а)
га, S
где
(шпї)' = J a „,«W- (П. 11.116)
І, I
Из последнего равенства видно, что величины та1 при переходе к новой координатной системе преобразуются по закону (П. 11.3), т. е. как компоненты тензора 2-го ранга. Из (3.19) видно, что тензор обратной эффективной массы (mji1) симметричен, т. е. mji ~m~u .
Аналогично тому, как вектор, т. е. тензор 1-го ранга, может быть изображен направленным отрезком (стрелкой), симметричный тензор 2-го ранга (Tik) может быть изображен поверхностью второго порядка
JTikXiXk= 1 (П.11.12)
і, k
или, подробнее,
Тцх\ + T2ixl + T33Xl + 2T12X1X2 + 2ТJ3X1X3 + 2T23X2X3 = 1. (П. 11.12а)
Можно показать, что если все Tii > 0, то эта поверхность—эллипсоид, называемый тензорным эллипсоидом.
4. Компоненты тензора меняются при переходе от одной координатной системы к другой. Можно доказать, что для симметричного тензора 2-го ранга всегда можно выбрать такую координатную систему, чтобы тензор в ней принял диагональную форму, т. е. были отличны от нуля только компоненты тензора Tii, расположенные вдоль главной диагонали. В этом случае тензорный эллипсоид принимает вид
