Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Л
А * і
л
* »
V
V* V V
' А , ' Л, . •
Л/ V ': W
и с. 11.7 Одномерные распределения р(х) (слет) и соответствующие автокорреляции (справа) (физический эксперимент)
212 но иная. Интенсивность шума играет при этом роль управляющего параметра со всеми вытекающими последствиями. Становится ясным, как оценивать степень малости уровня шумового воздействия: чем меньше область іначений параметров системы, отвечающая существованию той или иной конкретной структуры аттрактора, тем при меньших значениях интенсивности шума наблюдаются индуцированные шумом бифуркационные ивления.
Приведенные результаты математического моделирования качественно воспроизводятся и в физическом эксперименте. С помощью измерителя плотности распределения вероятностей и автокорелляционных функций 42-6 анализировались статистические характеристики х-компоненты колебательных режимов генератора с инерционной нелинейностью в зависимости от параметра т с фиксированием g. Достоинством эксперимента является то, что исследованию подвергался реальный процесс автоколебаний :с(г ). содержащий информацию о сложных процессах воздействия флуктуаций. В силу ограниченной (и малой в сравнении с ЭВМ) памяти it імерителя Х2-6 детальное количественное сопоставление теоретических її экспериментальных данных, вообще говоря, невозможно. Поэтому проведем сопоставление результатов на качественном уровне.
На рис. 11.7 приведены осциллограммы эволюции одномерных функций распределения р(х) и соответствующих им автокорреляционных функций xIfx(T) при переходе к хаосу через удвоения при вариации параметра т. ( равнение экспериментальных распределений р(.<) с расчетными, изображенными на рис. 11.5, не требует особых комментариев. Отметим лишь, что две нижних осциллограммы отвечают режимам 2- и 1-такткоп лент аттрактора.
Так как в приборе Х2-6 статистическая обработка реализации .г(М осуществляется, естественно, без специальной процедуры исключении і'ериоди-іеских компонент движения, то xIfx(T) для 2-тактной ленты атір'їктора демонстрирует обсуждавшиеся в 11.2 эффект. Как видно из осциллограмм -третья сверху серия на рис. 11.7). АКФ xIfд.(т) для 2-тактной ленты аттрактора явно содержит периодическую компоненту с периодом 2 и за время регистрации к нулю не стремится. В случае развитой стохастичности перемешивание осуществляется по всему аттрактору, и следствием является жепонешшальное уменьшение xIfx(t) (точнее - огибающей xIfv(t) > практически до нуля в полном соответствии с данными численного эксперимента.
Знание одномерных законов распределения хотя и позволяет дать отве-ш на ряд практических вопросов (вычисление средних значений, интенсивности, автокорреляции), тем не менее с теоретической точки зрения, безусловно не решает проблемы статистического описания хаотического аггракгора. Дл.-і этого необходимо иметь в распоряжении .V-мерный закон, характеризующий распределение вероятностей по всему фазовому про-.'транстау системы. Знание Д'-мерной плотности распределения вероятностей позволит учесть целый ряд более тонких факторов, я частности сия 'ЭННЫХ и с влиянием анодних шумовых возмущений.
С целью IUL iiOc і рации приведем результаты численного рас чета двумерной функции распределения р(х, у). проведенного для режима развитой сіохастичности в генераторе , задаваемом системой (7.38) при •/; - 1,5, : " 0.2 (см. рис. 10-7). На рис. 11.8 изображена функция распределения
213 P и с. 11.8. Лвумернпс распределение р (jr. у) ленточного аттрактора, изображенного на рис. 10.7. в отсутствие шума
P и с. 1 !.9. Эффект HOxiertcгвня шума на двумерное распределение р (х, у). изображенное на рис. 11.8 р (ж, у) в отсутствие шума. Сечение ее любой из плоскостей х = 0 или .у = О дает близкие к представленным на рис. 11.6 в результаты. Можно полагать, что в силу симметрии двумерной функции распределения рис. 11.8 одномерное распределение вообще не будет сколь-нибудь заметным образом зависеть от выбранной секущей.
При наличии слабого шумового воздействия это уже не так. Как видно из рис. 11.9, двумерное распределение возмущенной системы становится заметно асимметричным и одномерный закон будет в большей степени зависеть от направления проектирования. Наконец, отметим важную деталь. Двумерная плотность распределения вероятностей р (х, у) аттрактора седло-фокусного типа концентрируется над точкой седло-фокуса в начале координат, свидетельствуя об относительно большей доли времени, которую фазовая траектория проводит вблизи нуля. Это явление обнаруживается при исследованиях ряда других систем с подобными кваэиаттрак юрами. В частности, качественно аналогичные результаты получаются при статистическом анализе траекторий аттрактора Рёсслера.
11.4. О размерности аттрактора
Геометрические и вероятностные свойства хаотических аттракторов характеризуются различными размерностями, количественное взаимосоответствие которых пока дается оценками типа неравенств и в общем случае требует специальных теоретических исследований. Совокупность выявленных эталонных свойств динамической системы (7.38) подсказывает возможность проведения серии численных экспериментов по расчету различных размерностей хаотического аттрактора и их детального количественного сопоставления.
