Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Что касается рассмотренного конкретного примера аттрактора седло-фокусного типа в трехмерной системе, то не исключено, что все исследованные типы размерностей теоретически имеют одинаковое количественное значение. Как известно, для трехмерных потоковых систем с дивергенцией векторного ноля, зависящей от фазовых координат, в теоретическом плане эют вопрос до сих пор остается открытым. ГЛАВА 12
РАЗРУШЕНИЕ ДВУХЧАСТОТНЫХ КОЛЕБАНИЙ В НЕАВТОНОМНОМ ГЕНЕРАТОРЕ С ИНЕРЦИОННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ. ТОР-АТТРАКТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА
12.1. Общая постановка задачи
Переходам к хаотическому движению в нелинейных распределенных системах и средах, как правило, предшествуют режимы усложняющейся автомодуляции. Спектр колебаний с ростом управляющего параметра обогащается новыми и комбинационными частотами, увеличивается их число и интенсивности, растет число гармоник, и в итоге спектр становится сплошным, свидетельствуя о нерегулярности колебаний. Исторически одна из первых теоретических моделей развития турбулентности по Ландау намного определила ход развития теории динамического хаоса и в экспериментальном плане отвечала реально наблюдаемым эволюционным процессам формирования спектра развитой стохастичности. Однако для более детальных исследований бифуркационных явлений, приводящих к рождению хаоса при разрушении квазипериодических колебаний, в то время не было разработано фундаментальных математических концепций. Непосредственное интегрирование сложных дифференциальных уравнений также сдерживалось отсутствием необходимой вычислительной техники. Отметим, что и физические представления о стохастичности до 60-х годов бази-•ювались в основном на статистических явлениях, обусловленных воздействием флуктуаций.
Положение изменилось после публикации знамени шх работ Э. Лоренца [26] . Д. Рюэля и Ф. Тэкенса [27] и результатов фундаментальных исследований советских ученых [6, 11. 1S, 20, 22, 23, 32, 37, 46. 52, S3, 56-58. 60, 79, 80, 82-84, 90, 91, 93, 94, 104, 105, 120, 121, 137-139]. Введена концепция странного аттрактора и квазиаттрактора, сформированы новые методы качественного анализа, позволяющие в деталях подойти к исследованию процессов возникновения и структуры притягивающих гиперболических подмножеств в фазовом пространстве многомерных динамических систем. Достижения теории в совокупности поішмания с развитием математического обеспечения и быстродействия ЭВМ на принципиально новом уровне сделали возможным возвращение к исследованию лроблем нелинейной физики, связанных с бифуркациями квазипериодических колебаний и рождением динамического хаоса.
219 За последние 10 лет появилось много интересных экспериментальных и теоретических работ но исследованию механизмов перехода к стохастичности через двух- и трсхчастотиые колебания. Можно выделить три направления в изучении указанной проблемы- Во-первых, строгий теоретический анализ на основе аналитических методов качественной теории динамических систем [17, 20, 37, 40 - 43, 46, 52, 53, 120 - 123, 137 - 139]. Bo-UVOpbiX, модельное описание нелинейных явлений, приводящих к разрушению инвариантных кривых в дискретных отображениях с привлечением методов ренормгрупповых преобразований и численного счета [140 - 145]- И, наконец, численные и физические эксперименты по исследованию переходов к хаосу через квазипериодические колебания в конкретных конечномерных и распределенных системах [1 - 14, 22, 32, 85, 135 - 136, 220 -234].
Анализ и сопоставление полученных экспериментальных и теоретических результатов указывают на целый ряд универсальных качественных закономерностей, присущих переходам к хаосу через квазипериодические режимы вне зависимости от конкретных систем. Более того, зти результаты свидетельствуют о том, что по крайней мере при относительно небольших превышениях над порогом критичности динамика распределенных и конечномерных систем во многом сходна.
Это чрезвычайно интересно и практически важно, так как вселяет надежды на создание теоретических основ адекватного моделирования процессов развития турбулентности сплошной среды с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дискретных отображений, что существенно упрощает расчеты.
Как было показано в гл. 10, наличие негрубой гомоклинической кривой типа петли седло-фокуса и грубых гомоклинических траекторий у седловых периодических движений является первопричиной развития квазиаттракторов соответствующей структуры. В случае переходов к хаосу через квазипериодическис колебания подобным центральным объектом является гомоклиническая структура, порождаемая нелинейными процессами разрушения двумерного тора.
В отображении Пуанкаре резонансному двумерному тору отвечает инвариантная кривая, образованная замыканием неустойчивых сепаратрис периодических седловых точек на устойчивые узлы. Если анализировать локальную окрестность одной из седловых точек на инвариантной кривой, то окажется, что механизмы развития гомоклиники качественно сходны с процессами в окрестности седловой точки периодического движения в отображении Пуанкаре. В то же время наличие конечного числа седловых точек и их принадлежность инвариантной замкнутой кривой приводят к характерным отличиям в структуре гомоклинических траекторий и как следствие - к специфическим свойствам возникающих квазиаттракторов (тор-аттракторов).
