Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Фрагмент подробной бифуркационной диаграммы режимов системы Хенона представлен на рис. 10.11, где помимо линий удвоения /2,4,8 и линии критических значений параметров /кр, отвечающей рождению аттрактора Хенона, представлены рассчитанные бифуркационные линии гомоклипического касания /0,1,3,4 применительно к седловым неподвижным точкамQqiIi2,4отображения (10.2).
Бифуркации неподвижных точек <7/ отображения качественно соответствуют последовательности бифуркаций предельных циклов системы (7.38). Справа от любой из линий /}' имеет место грубое гомоклинн-ческос пересечение устойчивых и неустойчивых сепаратрис се.чповых точек iff, эквивалентное образованию грубых гомоклинических траекторий седловых периодических траекторий системы (7.38). Это подтверждено расчетами сепаратрис седловых точек для различных значений параметров а и Ь. Сепаратрисы ведут себя качественно эквивалентно в сравнении с данными, представленными на рис. 10.10. Для всех седловых точек щ отображения (10.2) выполняются условия теоремы [208] (как, впрочем, и дли седловых циклов снстсмы (7.38)), что подтверждает квази-
195 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 а
Рис. 10.11. Фрагмент бифуркационной шшраммы отображения Хенона на плоскости параметров а и Ь
У
0,2
"0,2
0,2 0 0,2
200 600 0 I-!-1-1-
1000
-20
-40
У -во
-i_l-
0,8 0 0,в
Tf
-20 ^ -40
/S -60
0,8 0 0,8 X
>«Ja
200 600 1000
і і-1-г——TT"*
' де
Рис. 10.12. Фазовые портреты (слева) и спектры мощное і и (сіфава) отображения Хенона при прохождении параметром точки бифуркации связности: / - h* 0.3. а * 1,07; II = 0.3, «* 1.10 гиперболичность аттрактора Хенона и его адекватность в этом смысле ленточным аттракторам системы (7.38).
Зафиксируем значение параметра h = 0,3 и рассмотрим ряд значений параметра а, последовательно расположенных между бифуркационными линиями /кр и //'. С ростом параметра а реализуется последовательность бифуркаций слияния лент аттрактора с образованием в итоге 1-тактной ленты при а = 1,17. Линии гомоклинического касания If являются, таким on разом, бифуркационными линиями слияния многотактных лент аттракторов отображения Хенона. На рис. 10.12 представлены численные результаты, иллюстрирующие слияние 4-тактной ленты аттрактора в 2-тактную при прохождении параметром а бифуркационной линии I1.
Как и для генератора, хаотические множества аттракторов в модели Хенона сконцентрированы в окрестности неустойчивых сепаратрис седловых точек, имеющих гомоклинические структуры. Для примера на рис. 10.13 приведены результаты расчетов устойчивой и неустойчивой сепаратрис седловых точек </0 и q, в режиме существования гомоклини-ки. Как видно из графиков, геометрия неустойчивой сепаратрисы определяет форму хаотического множества развитого аттрактора Хенона.
Отметим важное для приложений обстоятельство. Если анализировать положительный ляпуновский показатель аттрактора в совокупности с автокорреляционной функцией процесса, то вскрывается следующее. Для развитой 1 -тактной ленты аттрактора, когда существуют гомоклинические орбиты всей совокупности седловых циклов периода 2kTo, справедливо фундаментальное соотношение
X1 =Tk1, (10.3)
где тк - время уменьшения автокорреляционной функции в е = 2,718 . .. раз, т.е. время корреляции. Энтропия Колмогорова в данном случае строго
риження Хенона
197 определяет скорость спадания временных корреляций процесса. Для много-тактных лент аттрактора указанное соотношение непосредственно не выполняется. Дело в том, что появляются детерминированные периодические компоненты движения. Энтропия Колмогорова, равная положительному показателю спектра ЛХП, свидетельствует о перемешивании. Но перемешивание в случае многотактных лент аттрактора осуществляется в некоторой окрестности седпового цикла соответствующей тактности и не связано с наличием периодических компонент. Автокорреляция как характеристика временного процесса однозначно связана с видом временных зависимостей и естественно отражает наличие периодических компонент процесса. Равенство (10.3) для многотактных ленточных аттракторов в общем случае не выполняется. Однако если анализировать перемешивание (Xt) и скорость спада корреляции (т*1), исключив из рассмотрения соответствующую периодическую компоненту, то соотношение (10.3) оказывается справедливым. Например, если лента аттрактора 2-тактная, то нужно анализировать хаотическое множество точек в сечении Пуанкаре, получающееся регистрацией каждой второй точки пересечения ф-ізо-вой траектории с секущей поверхностью. Результаты численных экспериментов, проведенных с системой (7.38) и с двумерным отображением Хенона, подтверждают сказанное выше и обсуждаются в дальнейшем.
Можно предполагать, что аналогичная картина реализуется и в случае разрушения многообходных петель сепаратрис Го- Периодические компоненты движения на возникающих при зтом аттракторах в общем виде отвечают седловым циклам периодов р ¦ 2*7*0, где р = 1, 2, 3, . . . , * = 0,1,2_____
10.3. Физическая интерпретация возбуждения сложных колебательных процессов
