Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка):
С этой целью рассмотрим режим развитой стохастичности в системе (7.38) при значениях параметров m = 1,5, g = 0,2, которому отвечает аттрактор седло-фокусного типа, изображенный на рис. 10.7. Вначале рассчитаем размерности двумерного хаотического множества в сечении Пуанкаре плоскостью х = 0. Естественно предполагать, что размерность в силу непрерывности фазового потока не зависит от выбора секущей. Полная размерность D аттрактора, вложенного в трехмерное фазовое пространство системы, получается добавлением единицы к размерности d хаотического множества в сечении:
D=]+d. (11.10)
Численным интегрированием системы (7.38) с начальными условиями на аттракторе формировался массив данных из 3,18 • IO4 точек на секущей плоскости X = 0, который рассматривался как двумерный аттрактор. Для вычисления размерностей аттрактор покрывался квадратиками со стороной є и рассчитывались следующие величины:
= Iim [ІпД/(є)/1п(1/є)|, «-»о
J1=- Iim 2 Pi In Pij In (1 /є), (11.11)
t — 0 І ~ і
л; (о
dc = - Iim [ln( S pj )11п(1/е)1, « - о / = і
215і де Л/(е) число ячеек, покрывающих аттрактор; р, - вероятности того, что точка аттрактора принадлежит і-я ячейке покрытия; с/м, Jt и Jc - метрический, информационная и корреляционная размерности аттрактора соответственно.
Так как при е = 0 расчеты проводить нельзя, то вычислялась оценка соответствующей размерности Jc, зависящая от задания величины е:
J, = He IIn(IZe)]-'. (11-12)
где в зависимости от определения (11,11)
¦VMO ЛМО
He = In Ще). He = - 2 Pi In ph He = -ln( S р}). (1113)
/ = і /=I
При достаточно малых е можно считать, что
exp He * се"". (11.14)
где с - некоторая постоянная, a J - значение соответствующей размерности. Тогда
He = In с +1/ In (І /є). (11.15)
Таким образом, J линейно зависит от [1п(1/е)]_| и в пределе при є -»О стремится к точному значению размерности аттрактора. В эксперименте необходимо ограничиться интервалом малых значений е, в котором приближенно справедлива линейная зависимость (11.15), и для нахождения размерности J экстраполировать эту зависимость в область є -»О-
Как видно из результатов расчетов, приведенных на рис. 11.10, экспериментальные зависимости близки к линейным в интервале 0,01 < є < < 0.30- Количественная оценка коэффициентов линейных зависимостей методом наименьших квадратов и аппроксимация соответствующих прямых до є = 0 дали следующие результаты:
Jtl = 1,306 ± 0,015, J1 =1,300±0.013. Jc = 1.277 ± 0.017, (11.16)
где погрешность характеризует среднеквадратичные отклонения теоретических аппроксимаций от экспериментальных данных. Полные размерности D легко получить, добавив единицу (см. (11.10)).
Полученные результаты удовлетворяют теоретическим оценкам Dfl > > Dj > Dc, однако с учетом оценки погрешности счета возможно и полное равенство
D? = Di = Dc =s 2,29. (11-17)
Проведем расчет корреляционной размерности, используя дискретную последовательность одной из координат двумерного аттрактора в отображении, методом Грассбергера - Такенса. С этой целью из набранного массива данных используем последовательность координаты у. Для размерности пространства вложения, равной 4, результаты эксперимента следующие:
Jc = 1,292 ±0,041; Dc=H-Jc. (11.18)
Как видно из сопоставления (11.18) и (11.16), и этот метод дает результаты, позволяющие предполагать справедливость (11.17).
2161,0
0,5 [Infl/e)]"1
0,1
0,3
Рис. 11.10. Рассчитанные размерности аттрактора системы (7.38) в отображении на секущей плоскости х=0 (m = 1,5, g = 0,2)
Алгоритм Грассбергера - Такеиса для расчета корреляционной размерности можно применить и непосредственно к последовательности значений одной из координат трехмерного аттрактора системы (7.38). С этой целью формировался массив данных координаты х (і, At), і = 0,1, 2,..., 2 • IO4, АГ =0,25. Для размерности пространства вложения, равной 5, и времени задержки kAt = 2 результаты следующие:
Наконец, вычислялась ляпуновская размерность Dl на основе полного спектра ЛХП аттрактора по формуле Каплана — Йорка. Результаты следующие:
Результаты расчета корреляционной (11.19) и ляпуновской (11.20) размерностей аттрактора системы (7.38) дают несколько заниженное значение Dc и завышенное значение Dl в сравнении с данными, полученными на основе расчета размерностей аттрактора в отображении. Есть основания полагать, что указанные различия, не превышающие 3%, обусловлены относительно малой длиной анализируемой реализации x(t) (для Dc) и малым временем усреднения (для Dl ), которые в эксперименте ограничивались возможностями используемой вычислительной техники*).
*) Наращивание массива данных и времени усреднения демонстрировало явную тенденцию к увеличению Dc и уменьшению Dl.
Dc = 2,214 ±0,026.
(11.19)
X1 = 0,062, X2 =O1OOO, X3 = -0,187, DL =2,33.
(11.20)
217Несмотря на некоторые различия в количественных значениях размерностей. ьыводы можно сделать однозначно: с точки зрения физики эти отличия не существенны. В частности, для решения вопроса о числе активных степеней свободы, задействованных в конкретном режиме автоколебаний системы, можно использовать любой тип размерности, расчет которой по тем или иным причинам наиболее удобен в конкретной ситуации.