Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 89

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука, 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebniya1990.pdfСкачать (прямая ссылка): slojniekolebaniya1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 132 >> Следующая


Проанализируем эволюцию одномерных законов распределения при переходе к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода на примере модифицированного генератора с инерционной нелинейностью. Распределения строились численными методами на основе расчетов относительного времени пребывания фазовой траектории в заданных областях

P 1,0

1,0

1,0

1,0

- а /77 = 0,55 Ll .
-2 0 2
к 6 /77=0,85 KhLi..
-2 0 2
S-N- в /77=1,05
-2 XjJlK-. 0 Z г /77-1,083

-2

P 1.0

д т-1,09

2 х



1.0-

3 m-1,09 D = 0,05

Рис. 11.5. Эволюция одномерного распределения р Ос) в системе (7.38) при вариации параметра m

14. B.C. Анищенко 209 фазового пространства, т.е. в предположениях стационарности и эргодичности процессов автоколебаний.

Результаты расчетов функции распределения р(х) в зависимости от параметра т в сечении; = 0,3 представлены на рис. 11.5. На устойчивом предельном цикле периода 1 функция распределения р(х) близка к закону aresin x, однако в силу нелинейности колебаний не является симметричной. Хорошее соответствие дает аппроксимация р(х) ^-распределением (распределением Пирсона 1-гстииа [219] ):

а ? (at +хУ (? — х)" P(X) * rfx) = (a + ?)]*^" B(m, n)



(11.8)

0, ? < X < -a.

Здесь a. ?, in и л - параметры распределения. В(т, л) = Г(й)Г(я)/Г(т + + п + 1). На рис. 11.6Jизображеныр(х) (сплошная кривая) и<р(г) (штриховая кривая) для 1-тактного цикла при значениях параметров (11-8) а= 1,3,0= 1,61.от = -0.50.Я = -0,41.

Рис. 11.56 иллюстрирует изменешіе распределения в результате бифуркации удвоения периода. Распределение на 2-тактном цикле можно аппроксимировать полусуммой двух ^-распределений при соответствующем выборе параметров. Результаты аппроксимации представлены на рис. 11.66. Каждая последующая бифуркация удьоения периода усложняет форму распределения по вполне определенному универсальному закону, и в пределе формируется сложное многомодовое распределение, отвечающее рождению хаотического аттрактора (рис. 11 5г).

За критической точкой эволюция функции распределения р(х) качественно иная и отражает эффекты, обусловленные бифуркациями связности. Соседние моды с ростом т постепенно сближаются и сливаются. В итоге формируется распределение р(х) развитой 2-тактной ленты аттрактора (рис. 11.5<?) Так как в сечении g = 0,3 1-тактная лента в отсутствие флуктуаций не реализуется, ее распределение рассчитывалось в сечении g = 0.2 (т = 1,5) Распределение р(х). отвечающее развитой 1-тактной ленте .'логического аттрактора, является унимодаїїьньїм с характерной острой формой экстремума вблизи х = 0 (рис. П.бв, сплошная кривая). В качестве стандартного базового аппроксимирующего распределения здесь наиболее подходит распределение Лапласа (двойное экспоненциальное):

I ?, exp [-0,(0(- х)\/2. X < а,

Р(х)-^(х)=( (11.9)

I За «xpl-fc(*-«)]/2, х>а.

Результаты количественной аппроксимации р(х) для т = 1,5. ? = 0,2 с помощью (11.91 представлены штриховой кривой на рис. П.бв. Базовое распределение (Il Si) можно применить к описанию плотности распределения вероятностей на 2-тактной ленте аттрактора (т = 1.1. g = 0.3, рис. 11.5<?). Периодическая компонента движения позволяет построить распределения р-(х) и р7(.х) для каждой из непересекающихся хаотических зон аттрактора. Результирующее распределение, как и в случае удвоений ннк.\а, представляется в виде полусуммы [р> (х) ¦» р2(х)]Ц, в которой 210 - 1,34

1,68 -1,95-0,94 0 1,23 2,78

/я-1,1 0 = 0,3

I'и с. 11.6. Сопоставление данных численного счета рис. 11.5 с теоретическими аппроксимациями

#і (х) и Рг(х) даются законом (11.9) с соответственно выбранными параметрами. Результаты эксперимента и теоретической аппроксимации представлены на рис. 11.6 г. Аналогичным образом можно построить распределения любой из многотактных лент хаотического аттрактора.

Исследуем влияние внешнего аддитивного шума на форму одномерных законов распределения. Расчеты и здесь подтвердили установленные в 11.2 закономерности. Если интенсивность шума мала настолько, что не приводит к внутренним бифуркациям аттракторов, то их действие сводится к сглаживанию мелкомасштабной структуры распределения. С ростом интенсивности шума индуцируются бифуркации связности, что ведет к соответствующим перестройкам законов распределения. К примеру, действие шума интенсивности D = 0,01 на 4-тактную ленту аттрактора приводит

14* 211 к переходу на 2-тактную. а увеличение интенсивности шума до 0 = 0,05 индуцирует переход к развитой 1-тактной ленте аттрактора (рис. 11.5*, з).

В отличие от гиперболических систем, реакция квазиаттракторов на внешний шум существенно зависит от возможных бифуркаций аттракторов, реализующихся под действием флуктуаций. Если уровень шума не вызывает внутренних бифуркаций, то статистические свойства аттракторов главным образом определяются динамикой и слабо зависят от возмущений. Динамическая стохастичность в таких ситуациях оказывается сильнее навязываемой извне! Здесь практически наблюдается аналогия с гиперболическими аттракторами [90]. При уровнях шумового возмущения, способного вызвать внутренние бифуркации аттракторов, картина существен-
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed