Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анищенко В.С. -> "Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах" -> 87

Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах — М.: Наука, 1990. — 312 c.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): slojniekolebniya1990.pdfСкачать (прямая ссылка): slojniekolebaniya1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 132 >> Следующая


Рассмотрим подробно одну из возможных внутренних бифуркаций аттракторов, иллюстрирующих сказанное выше, а именно бифуркацию слияния хаотических лент аттрактора, обусловленную действием аддитивных шумов малой интенсивности. На рис. 11.2 представлены сечения Пуанкаре и спектры мощности аттрактора системы (9.1) для m = 1,09, ? = 0,3 при двух значениях интенсивности шума D***). Шум интенсивности D = 0,01

*) В равной степени это утверждение справедливо как в отношении отдельных бифуркаций удвоения, так и бифуркации Андронова - Холфа.

**) Выбор интенсивности аддитивных шумов, отвечающих услониям реального эксперимента, проводился на основе сопоставления данных физического и численного экспериментов при исследовании последовательности бифуркаций удвоения периода.

* * •¦'Случай .O=O подробно обсуждался в 10.2 (рис. 10.9).

203 Рис. И. I. Зависимость старшего показателя спектра от интенсивности шума при различных значеннях параметра т: 1.09 (У); 1.10(2); 1.16 (J)

0 0.01 Q03 0,09 D

Рис. 11.2. Режим динамической стохастичности. представленный нарис. 10.9, при воздействии шума различной интенсивности Dt 0,01 (в). 0,05 (б)

HHuyivpyeT бифуркацию слияния 4-такінои ленты аттрактора и 2-такт-ную (рис. 11 .!</). Флуктуации малой ингснпівіюсти с физической точки зрения равносильны здесь малому увеличению параметра т (это и есть эффект сдвига бифуркационной диаграммы!). Увеличение интенсивно-сій шума до Л ¦ 0,05 приводи« к рождению I-так і ной ленгы аттрактора (рис. 11.26) *>.

•^Передай к 1-тактой тежгг аттрактора при оцаонараметртеском авалях для Om Oa сястсмс 19.П :icw.i««iero;. Однако он спиовг.'с* ргимии при Ajmapv метрі.чесхом рассмотрения, что w раз сіпсітспум об дффисге сдвага M^ кашкмпой анаграммы я целом |'.'»5,206].

204 Подчеркнем типичное для квазигиперболических систем свойство, наглядно проявляющееся в данном конкретном эксперименте. Отклик нелинейной системы на изотропное шумовое возмущение характеризуется тем, что за счет преимущественного сжатия фазового потока флуктуации, трансверсальные к направлениям неустойчивых многообразий, уменьшаются. Эффект действия шума практически проявляется в увеличении хаотического множества вдоль неустойчивых сепаратрис. В результате под влиянием шума аттрактор в фазовом пространстве увеличивается именно в направлении неустойчивых многообразий и вблизи точек гомоклинических бифуркаций обуславливает явления, качественно эквивалентные бифуркациям аттракторов детерминированной системы (эффект слияния лент аттрактора в рассматриваемом примере).

Влияние флуктуаций на бифуркации ленточных аттракторов исследовалось экспериментально на реальном генераторе с инерционной нелинейностью при регулируемом уровне внешнего шума. Эксперименты полностью подтвердили результаты вычислений [20S, 206]. Кроме того, описанные выше результаты качественно воспроизводятся и в модели Хенона, дня которой эффект слияния хаотических лент удается проанализировать с использованием двухпараметрического подхода [205].

11.2. Время корреляции и энтропия хаоса

при обратных бифуркациях удвоения периода квазиаттракторов

Статистические свойства динамической системы можно анализировать по зависимости автокорреляционной функции (АКФ) ^jt(г) от времени т. Для странных аттракторов АКФ во времени стремится к нулю, причем убывает экспоненциально, свидетельствуя о близости системы к конечной цепи Маркова [91]. Показатель экспоненты связывается со временем корреляции гк, которое должно зависеть от степени перемешивания. Для гиперболических систем тк обратно пропорционально энтропии Колмогорова [6,57] и может, следовательно, быть оценено как і -і

Tk = ( 2 Х() , (11.1)

J = 1

где Х| - положительные ляпуновские показатели хаотической траектории.

Существует ли и какова взаимосвязь времени корреляции гк с энтропией хаотических аттракторов в динамических системах с кваэигипербо-лическими свойствами? Можно привести ряд примеров, свидетельствующих об отсутствии зависимости (11.1) применительно к квазиаттракторам; при близких значениях энтропии времена корреляции могут существенно отличаться.

Исследуем взаимосвязь времени корреляции тк и положительного показателя X1 аттракторов отображения Хенона при бифуркациях связности с V1IeTOM флуктуаций [215]:

хя+1 = 1 -а\1 +>-„+$,(и), у„+х=Ьхп+Ып), (11.2)

где % (л) - б-коррелированный шум интенсивности D. Отображение Хенона - типичная квазигиперболическая система с аттрактором Фейгенбау-

205 -1_I_I_I_

1,1 1,2 1,3 1,4 a

Рис. 11.3. Зависимость времени корреляции гк от параметра а отображения Хенона в отсутствие шума: 1 - в* = 1,155; 2 - а* = 1,088; 3 -«• = 1,064

ма. Огибающая зависимость Xj (а) для случая D = 0 удовлетворяет универсальному закону

X1 = с(а-а')\ 7 = In 2/1п 6, (11.3)

в котором для b = 0,3 а* = 1,058, с = 0,836. Зависимость (J 1.3) хорошо подтверждается экспериментально до значений a ^ 1,16.

Если предположить, что время корреляции тк = Xf1, то соотношение (11.3) определит теоретическую зависимость тк(а), представленную на рис. 11.3 сплошной кривой. Кружочками указаны результаты прямых вычислений [Xi(a)]"1. Расчеты зависимости АКФ от параметра а привели к явному несоответствию результатов с предполагаемыми. Вплоть до значений a ^ 1,155 (до момента рождения развитой однотактной ленты аттрактора) АКФ остается близкой к периодической и огибающая к нулю не стремится! Это явление обусловлено сложностью дискретной последовательности {хп}, содержащей как периодические, так и хаотические компоненты движения. Аттрактор, представляющий собой множество непересекающихся хаотических зон, можно описать суперпозицией периодических колебаний (между зонами) и шума [7] р
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed