Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Для некоторых значений параметра т и g = 0,2 соответствующие зависимости приведены на рис. 10.15. Амплитудная характеристика инерционного усилителя принадлежит классу отображений Фейгенбаума. С ростом параметра т крутизна падающего участка амплитудной характеристики достигает критического значения и режим колебаний теряет устойчивость 200
(10.5)
где
F(g) = (1/4)- [тг?(4 +*2)]-'(! +*-**)(! -є"**)', через удвоение. Это обусловлено тем, что система, неустойчивая в точке бифуркации, обладает селективной чувствительностью к возмущениям удвоенного периода.
С общих позиций современных представлений о поведении систем, содержащих локальные области экспоненциальной неустойчивости, возможность "непредсказуемой" эволюции уже не представляется загадочной. В окрестности области сильной неустойчивости (на вершине шара, например) реакция системы хотя и строго детерминирована, но чрезвычайно чувствительна к малейшим отклонениям в начальных данных. На этом свойстве базируется вся "экономика" индустрии игральных автоматов. В генераторе с инерционной нелинейностью роль области сильной неустойчивости играет локальная окрестность особой точки в нуле координат. Наличие петли седпо-фокуса с физической точки зрения означает, что нелинейные свойства системы обладают автономной возможностью "забрасывать" фазовую траекторию в окрестность особой точки. Поэтому рассмотренный генератор есть в прямом смысле радиофизический аналог игрального автомата. ГЛАВА 11
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ФЛУКТУАЦИЙ,
СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И РАЗМЕРНОСТЬ АТТРАКТОРОВ СЕДЛО-ФОКУСНОГО ТИПА
11.1. Бифуркации аттракторов в присутствии шумов
Воздействие флуктуаций на режимы сложных автоколебаний в квазигиперболических системах приводит к эффектам двух типов [92]. Под действием внешнего шума может наблюдаться сдвиг в пространстве управляющих параметров гак или иной бифуркационной линии (поверхности), а иногда и бифуркационной диаграммы в целом*). При этом не исключено исчезновение определенной мелкомасштабной структуры бифуркационной диаграммы детерминированной системы, но важно, что под действием шума не возникают принципиально новые режимы, которые отсутствовали в детерминированной системе.
Другой inn бифуркационных явлений связан с индуцированными под воздействием шума фазовыми переходами, которые в детерминированной системе вовсе не имеют места. Конкретным примером подобного типа перехода является эффект модуляционной перемежаемости, индуцированной мультипликативным шумом, обусловленным техническими флуктуациями параметров системы (гл. 9)
Следует гакже различать две ситуации: движение по параметрам в присутствии внешних шумов заданной интенсивности и вариация интенсивно-cirf шума при фиксированных значеннях параметров системы. Ecjiw следить. к примеру, за ігос істоватсльносїью бифуркаций удвоения периода а ррисутствни флуктуаций постоянной интенсиьности, то наблюдаемая цепочка бифуркаций удвоения окажется конечной, а переход к хаосу осуществится при меньшем значении упразпяюшего параметра. Реализуется типичный CJiy1Iaft сдвига бифуркационной диаграммы с исчезновением ее мелкомасштабіюй структуры: размываются бифуркационные линии удвоения период? много так слых циклон її смешается линия критических значений параметра.
Описанное явление в принципе не реализуется при фиксировании управляющих параметров системы с увеличением интенсивности флуктуаций.
*< Демотвие флуї-.туяциі* прииодит также К НОРбхОТИМОЬТН ЯМЄСТО ТОЧКИ (.rIHIIHlO Снтфупкацни анализировать конечную область імачсний Параметра, в которой піюиі'-хоцит ллгвная см<.на режимов движения системи. Каскад бифуркаций удвоения нельзя индуцировать увеличением интенсивности шумового воздействия*). В то же время имеется ряд других бифуркационных явлений, которые качественно воспроизводятся как за счет изменения параметров в отсутствие шумов, так и при увеличении интенсивности внешних флуктуаций для фиксированных значений параметров. Интенсивность шума в определенном смысле здесь играет роль управляющего параметра [210 - 217].
Приведенные соображения полезно иметь в виду при трактовке ниже-излагаемых экспериментальных результатов.
Рассмотрим систему ланжевеновских стохастических уравнений генератора (9.1), (9.2) и проведем ряд численных экспериментов в характерных точках плоскости параметров при различных !інтенсивностях шума**). Па рис. 11.1 приведены результаты расчета старшего показателя спектра ЛХІІ в зависимости от интенсивности шума D при g ° 0,3. Видно, что в зависимости от параметров увеличение интенсивности шума вызывает как увеличение X1, так и уменьшение его вплоть до нуля. Шум может "индуцировать" переход к регулярному движению (предельный цикл в случае рис. 11.1, кривая 3), может не оказывать практически заметного действия, а может и увеличивать степень хаотичности режима (рис. 11.1, кривые 1,2).
В чем причина таких принципиальных различий в реакции системы на шумовое воздействие? Как было детально установлено, отклик системы на внешний шум определяется характером бифуркационной диаграммы невозмушенной системы. Если под действием шума не происходит внутренних бифуркаций аттракторов, степень перемешивания слабо зависит от интенсивности флуктуаций. В случае близости по параметрам к точкам касательных бифуркаций (вблизи линий кратности многотактных циклов) шум перебрасывает фазовую траекторию в область притяжения цикла. Реализуется переход типа "хаос - порядок". В случаях когда под действием шума осуществляется бифуркационный переход в хаосе от аттрактора одной структуры к аттракторам иной структуры, возможно увеличение или уменьшение (в зависимости от конкретной ситуации) степени перемешивания. Можно утверждать, что приведенные на рис. 11.1 экспериментальные результаты суть прямое следствие эффекта сдвига бифуркационной диаграммы, обусловленного шумовым возмущением динамической системы.
