Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Режимы двухчастотных колебаний реализуются и исследуются при периодическом внешнем воздействии на устойчивый предельный цикл автономных систем, в системах двух взаимодействующих активных нелинейных осцилляторов, а также в автономных нелинейных многомерных и распределенных системах, способных работать в режимах автомодуляции. Для изучения ряда принципиальных явлений полезно использовать модель-
220 ныс представлення в виде дискретных систем с инвариантной замкнутой кривой, являющейся прообразом двумерного тора в отображении.
Способы возбуждения двухчастотных колебаний подсказывают возможность реализации режимов с тремя независимыми частотами. Например. при слабом периодическом возбуждении системы с аттрактором в виде двумерного тора можно ожидать возникновения трехчастотных колебаний.
Исследование бифуркационных явлений, сопровождающих переход от режима двухчастотных колебаний к. тор-хаосу, проще начинать с анализа процессов в автогенераторе, возбуждаемом внешней периодической силой. Преимущества такого подхода связаны с малой (вплоть до минимально возможной!) размерностью динамической системы и простотой изменения числа вращения Пуанкаре путем вариации частоты сигнала накачки.
В гл. 12. 13 на ряде несложных автономных и неавтономных дифференциальных и дискретных систем радиофизики рассматриваются основные механизмы перехода и свойства хаоса, рождающегося при разрушении двух- и трехчастотных квазипериодических колебаний с привлечением широкого комплекса теоретических, численных и экспериментальных методов. Базовой моделью для целенаправленных усложнений возможных динамических явлений в исследуемых системах служит автономная система - модифицированный генератор с инерционной нелинейностью. Структурная устойчивость этой модели в сочетании с относительной простотой •шеленных и физических экспериментов позволяет в деталях проанализировать весьма сложные динамические явления и выявить типичные закономерности.
12.2. Бифуркационная диаграмма неавтономного генератора
в окрестности основного резонанса. Численный эксперимент
Выбор исходной для нашей задачи системы с предельным циклом не безразличен. Так, например, динамика генераторов типа Ван дер Поля под действием периодической силы хотя и отражает некоторые особенности переходов к хаосу через режим биений, но далеко не полностью, что зависит от способа задания нелинейных характеристик модели [ 134]. Разумнее в качестве автономной системы рассмотреть не просто генератор периодических колебаний, а систему, способную работать в режимах как регулярных, так и хаотических автоколебаний, т.е. одну из простых систем со сложной динамикой. Поэтому изучение механизмов разрушения двумерного тора целесообразно начать с исследования неавтономного генератора с инерционной нелинейностью [13, 23S - 242], задаваемого уравнениями
x = mx+y- xz+Bo sinpr, у = -х, г =g[/(*)*' - z|, (12.1)
где в сравнении с (7.38) в первое уравнение введено гармоническое возмущение (воздействие) амплитуды B0 и частоты р, т - нормированное время.
Для изучения возможных режимов колебаний неавтономной системы вновь применим комплекс методов, использованный при анализе автономных колебаний в генераторе: построение бифуркационных диаграмм на выбранной плоскости управляющих параметров и изучение типичных ре-
221 1,5 р
Рис. 12.1. Бифуркационная диаграмма системы (12.1». Численный эксперимент доведен для * - 0,3 и значення S3 ¦ 0.1 (в), 0,5 (б)
жнмов колебаний и их бифуркаций с помощью численного и физического моделирования. Для изучения бифуркационных явлений коразмерности 1 и 2 в динамических системах с числом параметров более двух важно найти удобную в экспериментальном отношении и наиболее информативную двумерную поверхность в параметрическом пространстве. Выберем в качестве таковой плоскость управляющих параметров тир, зафиксировав g = 0,3, и рассмотрим динамику системы (12.1) для выборочных значений амшіиіуд воздействия Вл [239,241,242].
На рис. 12.1 цриведены результаты расчетов бифуркационных линий на плоскости параметров т, р. Область существования устойчивых колебаний частоты внешнего воздействия (сектор 1) ограничена бифуркационными линиями нгйірзльности /0. кратности It и удвоения /*. При пересечении линии /0 из цикла внешней синхронизации мягко рождается двумерный тор, возникает авухчасготныс биения. Вдоль линии /<> число вращения ф монотонно изменяется. Последовательно проходятся точки бифуркаций коразмерности 2, соответствующие »ильным резонансам А (1/4), В (1/3) и множеству слабых ф = v/q, q > 5. В бифуркационных точках D помимо пары комплексно сопряженных мультипликаторов на единичную окружность выходит третий мультипликатор р3 = +1 и линия I0 прерывается. Выше точек D регистрируется линия /,. Переход из зоны резонансных
222 ¦ олебаний через линию кратности соответствует бифуркации слияния и исчезновения устойчивого и седлового циклов Iia торе. При выходе из JCKTOpa ' через линию /2 исходный цикл теряет устойчивость с мягким рождением устойчивого цикла удвоенного периода. Дальнейшее движение вверх по параметру т приводит к сходящейся последовательности бифуркаций удвоения периода резонансного цикла, завершающейся рождением странного аттрактора ленточного типа CA j (сектор б).
