Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Сектор 7, где перекрываются А- и Д-клювы с различными числами вращения, характеризуется множеством различных режимов с гистерезисами, перемежаемостью тина "Цикл-хаос" и "хаос-хаос", чувствительных к воздействию флуктуаций. Наиболее типичным в зкспериментах при входе в сектор 7 снизу был режим перемежаемости между синхронным 3-циклом і4-клюва и СА\, который рождается из двумерного тора на базе 2-цикла Д-клюва (сектор 5 в Я-клюве).
226 1' и с. 12.3. Проекции аттракторов на плоскость х, у в характерных секторах бифуркационной диаграммы рис. 12.2 (физический эксперимент)
Режимы колебаний в описанных выше секторах бифуркационной диаграммы иллюстрирует рис. 12.3, содержащий проекции фазовых траекторий на плоскость х, у, сфотографированные с экрана осциллографа. Отметим, что точки плоскости параметров и масштабы изображений режимов выбраны из соображений наглядности.
По диаграммам рис. 12.1 и 12.2 динамической стохастичности отвечают два типа секторов: 5 и 6. Однако возможных типов бифуркационных переходов к хаосу в изучаемой системе четыре. Первый тип - фейгенбаумов-ские удвоения резонансных циклов внутри областей синхронизации 1 и 2, реализуется при движении по плоскости параметров трансверсально (под ненулевым углом) к линиям удвоений /*. Второй тип переходов осуществляется при пересечении /?P снизу и обусловлен мягким разрушением двупериодических движений на 1-торе (или на 2-торс, если пересекаются секторы 4). Третий тип переходов к CA имеет место при движении внутри любой из областей синхронизации в направлении секторов 5 трансверсально линиям кратности /,. Стохастичность возникает при этом жестко. Вблизи пиний /, отмечаются перемежаемость между СА\ и циклами синхронизации и гистерезис. Четвертый тип переходов реализуется при движении из секторов 5 в секторы б и наоборот. Здесь отмечаются сложные явления взаимодействия аттракторов, перемежаемость типа "хаос-хаос" [241, 197-200]. Подобная картина может наблюдаться в областях нелинейного взаимодействия колебаний с различными числами вращения Пуанкаре (в области перекрытия резонансов, сектор 7).
15*
227 12.4. Бифуркация удвоения одного из периодов движения на двумерном торе.
Мягкий переход к хаосу при потере тором гладкости
Рассмотрим подробнее переход к СА\ при движении по параметру т, фиксируя различные значения параметров р и B0. Примером может служить анализ перестроек режимов колебаний в сечении ft = 13 кГц (рис. 12.2). На линии I0 из цикла внешнего воздействия мягко рождается 1-тор, который с ростом т проходит серию слабых резонансов и в экспериментах выглядит практически эргодическим. Пересечение линии I3 вызывает переход 1-тор -» 2-тор, т.е. дчумерный тор удваивается. Удвоение эргодического тора впервые экспериментально установлено в [236]. В отличие от удвоения резонансного цикла на торе эта бифуркация пока не совсем понятна с точки зрения теории устойчивости. Тем не менее в последние годы она была подтверждена рядом численных и физических экспериментов [85, 100, 136, 153,241-244].
На рис. 12.4 даны сечения Пуанкаре и соответствующие спектры мощности колебаний при прохождении точки бифуркации удвоения эргодического дну мерного тора, рассчитанные на ЭВМ для р = 0,111, B0 = 1,2 и указанных значений параметра т. Нет сомнения в том, что в пределах точности счета удвоение тора происходит без резонанса. В отображении содержится более IO3 точек, причем исключен длительный интервал времени установления.
Прохождение точки бифуркации 0,7745 < т*< 0,7750 сопровождается мягким раздвоением исходной инвариантной замкнутой кривой на две самостоятельные инвариантные кривые, которые с ростом параметра т плавно удаляются друг от друга, оставаясь эргодическими. Численное построение одномерного модельного отображения и исследование его эволюции с ростом параметра т дали аналогичный результат. Отображение последования, представляющее собой симметричную относительно биссектрисы замкнутую кривую типа эллипса, при прохождении точки бифуркации т' раздваивается на две замкнутые кривые, плавно расходящиеся симметрично относительно исходной.
Численные и физические эксперименты свидетельствуют о том, что число бифуркаций удвоения тора, предшествующее переходу к СА\, конечно и определяется уровнем воздействия B0 и степенью удаления по частотам от резонансной частоты /0- До сих пор остается неясным, возможна ли теоретически бесконечная последовательность сходящихся бифуркаций удвоения торов подобно каскаду удвоений периода Фейген-баума? Скорее всего, нет, так как эксперименты свидетельствуют о том, что число удвоений растет с уменьшением интенсивности воздействия и, видимо, стремится в бесконечность при стремлении B0 к нулю. Но здесь реализуется предельный случай перехода тора в цикл! Для конечных значений амплитуд воздействия B0 удвоения тора сопрово ждают переход к хаосу, однако механизмом рождения СА\ не являются.
На рис. 12.5 даны диаграммы режимов колебаний на плоскости параметров Rm, V0 для фиксированных значений частоты воздействия /,, полученные экснериментхльно. Эти диаграммы наглядно поясняют, что цепочка бифуркаций удвоения торов конечна и обрывается тем раньше.
