Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
X = mx +у -XZ - dx\ у = -х, z * -gz +gl(x)x*. (7.28)
Исключением переменной у уравнения генератора с инерционной нелинейностью (7.28) приводятся к виду (7.2):
X -кт-z- idx2)x + |1 - gz +*Ф(х)|х = 0, (7.29)
г = -gz +?Ф(л).
Автоматически регулируемый нелинейный осциллятор (7.29) характеризуемся инерционной зависимостью диссипации и частоты от переменной х-В случае сильной инерционности системы (Тф > T0), Konw g ¦* 0, исходная система (7.28) вырождается в двумерную:
X -д(1 - Ьх2)х +X = O. (7.30)
а = т - Z0, b ^ 3J/(m - J0)- ^o ~ * (0),
и независимо от вида функции Ф(л) совпадает ио форме записи с уравнениями генератора Ван дер Поля. Параметры а и Ъ, как видно и і (7.30), зависят от начальных условий z (0).
Другой асимптотический случай - безынерционный генератор, соответствующий стремлению параметра g в бесконечность. Из третьего уравнения системы (7.23) при этом условии следует алгебраическая нзаимо :вязь переменных ZAX сводящая исходную систему к виду
X - \т --Ф(х)--3</х2]х +х = 0. (7.31)
Полная аналогия с уравнением Ван дер Поля в этом предельном случае достигается при условии Ф(х) = х2. В реальном генераторе с инерционной нелинейностью область значений параметра инерционности g, в которой система ведет себя принципиально как трехмерная, ограничена некоторым интервалом gі < g < gi. За его пределами приближенным описанием могут служить рассмотренные асимптотические уравнения на фазовой плоскости.
143 7.3. Периодические режимы колебаний в генераторе и их бифуркации при вариации параметров
Сформулируем в общих чертах цель бифуркационного исследования и алгоритм его проведения. Из множества возможных режимов колебаний в системе попытаемся описать характерные колебания и их перестройки с изменением параметров. Для этого с применением HtM выясним структуру разбиения плоскости параметров на обпасти качественно различных типов движения, укажем их фазовые портреты и конкретизируем типы бифуркаций режимов на границах областей. Для двупараметрических систем общий алгоритм построения бифуркационных диаграмм состоит в следующем [186].
1. Необходимо найти особые точки системы, исследовать их устойчивость и выявить характерные бифуркации потери устойчивости, в частности бифуркацию рождения периодического движения (цикла).
2. Исследовать характер бифуркации рождения цикла, определяющий его устойчивость.
3. Провести одно параметрическое исследование эволюции циклов но параметрам и найти точки характерных бифуркаций.
4. Провести двупара метрическое исследование циклов, заключающееся в построении бифуркационных линий, отвечающих различным типам бифуркаций коразмерности 1, и найти на них точки дополнительных вырождений - точки бифуркаций коразмерности 2.
На этом качественное исследование двупараметрических систем заканчивается.
В системах с тремя параметрами повторяется двупараметрический анализ для выборочных значений 3-го параметра и исследуются бифуркационные ситуации более высокой коразмерности.
Математическая модель модифицированного генератора с инерционной нелинейностью (7.23) есть нелинейная трехмерная диссипативная система с тремя независимыми параметрами, задающая поток в IR3,
— <*><ДС<о«\ у < 0 < Z <
где переменная г определена на положительной полуоси, так как с физической точки зрения представляет собой продетектированное напряжение х(г) на выходе фильтра. Дивергенция векторного поля скоростей потока (7.23) зависит от параметров и фазовых координат:
divF= м - g - 3Jx7 - г. (7.32)
Исследования в квазилинейном приближении m < g < 1 свидетельствуют о том, что система глобально диссипативиа и для любых начальных данных из области определения фазовых неременных всегда справедливо
divF< 0.
В квазилинейном приближении переменная z ^m и независимо от координаты X дивергенция отрицательна. С увеличением параметра m> g, g -конечно (наиболее интересная область генерирования нелинейных колебаний), знак дивергенции зависит от координат. Условием диссипативности
144 является
т - g < Z + Idx2. (7.33)
Дія автоколебаний при d Ф 0 это условие всегда выполняется. В этом смысле параметр d определяет безынерционную диссипативную нелинейность системы. Если же усилитель работает на линейном участке характеристики и нелинейное ограничение амплитуды за счет инерционности наступает раньше, чем значения переменной х выходят в область нелинейности характеристики 5 (х), выражение (7.33) принимает вид
т -g < z(t). (7.34)
Последнее неравенство разделяет фазовое пространство системы (7.23) на две области плоскостью z = z0 = т — g. Для z > z0 система диссипа-тивна, для z < z0 фазовый объем в локальной окрестности любой траектории системы расширяется. Стационарные режимы автоколебаний реализуются в том случае, когда подкачка энергии и ее расход в среднем по времени компенсируются, что возможно при условии
т - g < Z, (7.35)
где z - среднее но времени значение переменной z(t). Для достаточно больших т> 1 неравенство (735) может не выполняться и траектории системы будут уходить в бесконечность, если диссипативная нелинейность отсутствует (d = О).
