Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
R(T) = R0 у LbT, (7.13)
и считая, что процесс теплообмена подчиняется закону Ньютона:
pq JT/dt + k^T-R (T) і2, (7.14)
где q — удельная теплоемкость нити термистора, а р - ее масса, получаем замкнутую систему уравнений видз
d3i/dr + ь>Іі = (р - hT)dijdt - bidT/dt,
dT/dt + yT= a(T)i2, где иеппльзовань; обозначения:
р = UlS0M - R0/!.. ы1 = I /1С. у = k!PQ.
(7.15)
(7-І Ь)
сг(Г)- л0 + bLT/pq. O0 * R0Ipq. В безразмерных переменных
х=аі, У = -X, г*Ь'Г/ы о. г = CJ0 г, оа (crbpq/u0k)112 (7.17)
140 уравнения (7.15) принимают вид
х = гпх +у - XZ. т = м/ооо = Cj0S0M - R0Iu0Lf
v = -x, g = у і и0. (7.18)
і =1 -*z + g*2, де = dx/dr.
В трехмерной двуїіараметричеекой системе (7.18) параметр т пропорционален разности вносимой и рассеиваемой в контуре энергий, g -параметр, характеризующий относительное время релаксации термистора. В дальнейшем т будем назьгаать параметром возбуждения, a g — параметром нне|)иионности генератора.
Рассмотрим схему, изображенную на рис. 7.4. Колебательный контур ц этой схеме в отличие от классического случая (рис. 7.3) не содержит нелинейных элементов Усилитель 1 управляется дополнительной цепью обратной связи, содержащей линейный усилитель 2 и инерционный преобразователь. Дифференциальные уравнения генератора можно записать в явном виде, конкретизировав зависимость крутизны усилителя 1 S (х, V) и задав уравнении инерционною преобразования V(x).
Аппроксимируем функцию S1(Jf). 1-е- крутизну усилителя 1, без учета йо !действия дополнительной обратной связи полиномом
Sj(Jf) = S0 -S1jc2. (7.19)
где X - напряжение на входе усилителя 1, S0 и S1 -< постоянные положи-іельньїе коэффициенты. Предположим, что механизм воздействия цепи инерционной обратной связи подчиняется закоіюмерности
S = S1 (X) - bV = S0 - S1X2 - bV. (7.20)
где V = К(ї) - напряжение на выходе инерционного преобразователя, b -параметр. Пусть инерционное преобразование осуществляется в соответствии с уравнением
V =-у V t-f(jc). (7.21) Уравнение для тока в контуре генератора (рис. 7.4)
Ldijdt + Ri ? С"1 /0 - MSdijdt)dt = 0 (122)
совместно с уравнениями (7.20) и (7.21) дает замкнутую систему, сводящуюся в безразмерных неременных к виду
V =Wjc + v-jcz - Ar3, у = ~jc, і = -gz + *Ф(х), (7.23) гдsd = d'yS |) - параметр, отиечаюший степени влияния нелинейности кру-
P и с. 7.4. Модифицированная схема генератора с инерционной пелинейиостью
141 Фильтр
Рис. 7.5. Схема варианта практической реализации инерционного преобразователя
Рис. 7.6. Схема ЯС-генератора с инерционной нелинейностью
тизны характеристики (7.19); Ф(х) - функция, описывающая свойства инерционного преобразователя.
В генераторе действуют два механизма нелинейного ограничения амплитуды колебаний (см. (7.20) и (7.23)). Первый - безынерционный и связан с нелинейностью характеристики усилителя, второй - инерционный, обусловленный зависимостью крутизны S от напряжения V. Пусть усилитель работает иа линейном участке характеристики (S1 = 0). а инерционный преобразователь собран по схеме двухполупернодного квадратичного детектора с AC-фильтром (рис. 7.5) и описывается уравнением
z = -gz+gx2. (7.24)
Параметр инерционности g равен отношению периода колебаний контура T0 к постоянной времени фильтра тф =ЛфСф.
При сделанных предположениях уравнения (7.23) переходят в уравнения классического генератора (7.Ib). Значит, если усилитель 1 линейный, а инерционный преобразователь удовлетворяет (7.24), то математические модели генераторов, схемы которых изображены на рис. 7.3 и 7.4, неразличимы. Схема с детектором в экспериментальном отношении более удобна, так как позволяет варьировать инерционные свойства генератора регулировкой постоянной времени фильтра, что практически неосуществимо при использовании термистора [19, 183, 184].
Вид уравнений (7.23) не изменится, если в качестве селективного элемента использовать AC-цепочку в виде моста Вина [183, 184]. Дія обеспечения условий генерации в этом случае нужно применить два каскада усиления, как это показано на рис. 7.6. Дня симметричного моста Вина управляющие параметры mug в уравнениях (7.23) просто и с точки зрения эксперимента удобным образом выражаются через параметры схемы:
уп ~ A0 - 3, g = RoCoiTb, (7.25)
где K0 - коэффициент усиления двухкаскадиого усилителя, R0C0 и Тф -
142 постоянные времени моста Вина и фильтра детектора. В физическом эксперименте параметры mug легко менять и измерять, варьируя коэффициент усиления и постоянную времени фичьтра.
Динамика системы (7.23) во многом зависит от конкретного вида функции Ф(х), задающей свойства инерционного преобразователя. Наиболее богатая картина режимов колебаний, включая хаотические, и их бифуркаций в генераторе с инерционной нелинейностью имеет место в случае, когда используется однонолунериодный детектор [13, 185]. Функция Ф(х) может бмтыина
Ф(х) = ехрх I (7.26)
или. что удобно при численных исследованиях.
[ 1. х > 0.
Ф(л) = /(.\-)*2, /(дс)= (7.27)
I 0. Jt < 0.
Определив функцию Ф(х) в соответствии с (7.27), из (7.23) получаем уравнения модифицированного генератора с инерционной нелинейностью, представляющие собой трехмерную тргхларамстрическую нелинейную лис-сипативную систему:
