Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка):
Система (7.23) характеризуется единственной особой точкой в начале координат. Если функция Ф(х) не содержит линейных но X членов, линеаризация системы в особой точке приводит к характеристическому полиному [187]
(S + j)(s2 -ms + D = 0. (736)
собственные значения (корни) которого суть
Si1i= тр. ±(//2) (4-wi2)1'2. S3 =-g. (737)
В обпасти плоскости параметров g >0, -2 < т< 0 действительные части всех собственных значений отрицательны и особая точка устойчива. С физической точки зрения параметр g всегда положителен как отношение характерных времен системы (периода колебаний ко времени релаксации фильтра). Параметр т может быть как меньше нуля (генератор недовоз-бужден), так и больше нуля в режимах генерации, которые собственно и представляют интерес. В области О < т < 2 особая точка есть седло-фокус с двумерным неустойчивым и одномерным устойчивым многообразиями (7.37). Линия пг= 2 - бифуркационная и отвечает смене седло-фокуса на седло-узел.
В бифуркационной точке т= О, как видно из (7.37), собственные значения Jijl пересекают мнимую ось с ненулевой скоростью
dRejtiJ(,n)/dm|w = 0= 1/2.
При этом третье собственное значение S3 = -g отделено от мнимой оси. Реализуется классическая бифуркация Андронова-Хонфа: бифуркация рождения цикла из ссдло-фокуса. Линейный анализ бифуркации рождения
10. B.C. Ahhiuchko
145цикла не чувствителен как к наличию днссипативной нелинейности (собственные значения от коэффициента d не зависят), так и к виду функции Ф(х), которая не должна лишь включать линейный no х член. Таким образом, в физически реализуемой области управляющих параметров системы, представляющей собой положительный квадрант плоскости т> О, g > О, линия g > 0, т = 0 есть бифуркационная линия рождения никла.
Вначале проведем исследование системы (7.28) для случая J = O:
X = тх + г - XZ. у = -X. г = -gz + gl(x)x2, (738)
ограничившись цвуп'араметрическим анализом. Влияние безынерционной диссипативной нелинейности обсудим особо.
Расчет устойчивости неподвижной точки в линейном приближении — практически единственная задача, которую в отношении изучаемой системы удается решить аналитически. Последующие расчетные исследования проведем с использованием ЭВМ, а экспериментальные - на радиофизическом генераторе.
Для решения вопроса об устойчивости рождающегося цикла нужно проанализировать характер бифуркации Андронова - Хопфа. Численные расчеты показали, что первая ляпуновская величина Li (#) в особой точке всюду вдоль линии рождения цикла отрицательна; рождающийся предельный цикл системы устойчив (суперкритическа* бифуркация). Вычисление первой ляпуновской величины приближенно можно провеши аналитически, используя алгоритм H.H. Баутина [!88]*). Приближенные аналитические н численные результаты качественно совпадают. Таким образом, в системах (7.38) и (7.23) на линии м - 0, g > 0 мягко рождается устойчивый предыьный цикл, радиус которого растет пропорционально у/т, а период, согласно теореме, равен
T0* 2ir/!s1>2(0)|=;br. (739)
Интегрированием системы (7.38) нч ЭВМ установлено, что для значений 0 < mi < 2, 0 < g < 2 решением задачи Коти с начальными условиями вблизи особой точки в нуле является устойчивое периодическое колебание с амплитудой, пропорциональной и периодом T0 =¦ 2;г. Для значений //»< 0,5 соответствие с теоремой о рождении цикла в пределах точности счета на ЭВМ практически полное. С увеличением т > 0.5 появляются малые отклонения в зависимостях амплитуды и периода цикла Го(т) от теоретически предсказываемых.
На рис. 7.7а приведены данные расчета нормированного на \/7п размера устойчивого предельного цикла Г0(/п) для g =0,097. Воблэсти 0,5 < т < < 1,1 видно отклонение зависимости от константы, которое не превышает 2,5-3,0 7г. На рис. 1.16 даны зависимости нормированного размера, периода и наибольшего по модулю мультипликатора цикла от параметра т для значения g * о,2 при прохождении параметром точки бифуркации удвоения периода (ш* = 0.V66...).
**Mj-ja разрыва второй произнодной Ф(л1 = /(X)X7 в (7.38) возникаю сложности в применении указанной) алпіріпма. іл'ЛИ аппроксимировать Ф(х) зкСіі-wphtoH (cxp.v - і) V огрэниадться первыми гр.-мя членами се тейлоронского разложения, то вычисления можно довести цо конца и показать, что JC1 Ig f < 0 діім любых ? > 0.
146а
\т 1,04 1,02 1.00
0.8 0.в 0.7 0.8 0.3 1.0
а
P и с. 7.7. J - Зависимость нормированной амплитуды устойчивого цикла Г0 от параметра т. Л - ілвиснмость амплитуды a/v"? (/1. мультипликатора р, (J) и периода 7", (J) цикла Г0 Ui параметра т сри прохождении гочкя бифуркации vдвоения периода
Как свидетельствуют расчеты, бифуркационная теорома Андронова -Хопфа достаточно хорошо описывает эволюцию предельного цикла не только в малой окрестности по параметру вблизи рождения и не только устойчивого, по и седпового цикла Гс. Отличия периода колебаний и размера цикла от теоретических значений составляют и здесь ±3 хотя превышение над порогом генерации весьма суиіестненно и соответствует режимам принципиально нелинейных колебаний.