Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Если собственные шумы системы достаточно малы, то в радиофизическом генераторе с ростом параметра возбуждения можно проследить эволюцию предельных циклов вплоть до критической точки рождения хаоса и малых превышений над порогом, где касательные бифуркации циклов сравнительно малых периодов не будут влиять на режим колебаний (их линии кратности лежат выше линии критических значений параметров). Такой эксперимент не связан с точным заданием начальных условий, что в физической системе обычно трудно обеспечить.
Для натурных экспериментов был разработан и изготовлен ЯС-генера-тор низкочастотного радиодиапазона [1831 (/о = To1 7 кГц) в соответствии с рис. 7.6. Основной генератор включал два каскада усиления с достаточно большим участком линейной характеристики и селективный
*)При этом необходима уверенность н том. что цепочка удвоений бесконечна и контроль с помощью оцноііарамеїрического анализа в выборочных точках обязателен.
154 элемент в виде симметричного моста Вика. Дополнительная цепь инерционной отрицательной обратной связи состояла из анодної о одноиолуиериод-ного квадратичного детектора и AC-филыра. Тщательным подбором параметров элементов генератора и характеристик детектора, усилителей и фильтра экспериментально достигалось максимально возможное соответствие реальной и математической моделей системы [183, 191. 192]. Измерительная установка в целом позволяла независимо варьировать и количественно определять параметр возбуждения т. измеряя коэффициент усиления основного усилителя K0 и параметра инерционности g. который регулировался емкостью фильтра Сф. Точность в измерении управляющих параметров ти; была не хуже ± 1 %.
Отметим одну исключительную особенность системы (7.38) и, следовательно. генератора: независимая вариация параметров т и g дает возможность в экспериментах раздельно управлять степенью сжатия (s3 = = JjU)) и растяжения (j(-2 sSitJ(W)) в окрестности седло-фокуса, т.е. независимо управлять свойствами устойчивого и неустойчивого многообразий особой точки (см. (7.37)).
Изучение режимов колебаний и их бифуркаций осуществлялось с помощью системы осциллографов, анализатора спектра и селективного микровольтметра, входящих в измерительную установку.
Осуществим исследование эволюции режимов колебаний при движении но параметру m снизу для ряда дискретных значений параметра g. На рис. 81 приведена бифуркационная диаграмма режимов колебаний на участке плоскости параметров m. g. Как и ожидалось, при движении по т в эксперименте наблюдается накопление бифуркационных линий удвоения Iki к линии критических значений параметров /кр. Уверенно регистрируются бифуркации удвоения для к = 0. 1. 2, т.е. вплоть до перехода 4F0 -* -»87*0 - Переход HT06F0 также наблюдался экспериментально, но в некоторых областях плоскости параметров был неустойчив за счет естественных и технических шумов установки. На рис. 8.1 соответствующая бифуркационная линия /зі не показана.
Переход к стохастичности, включая малые превышения над порогом, в эксперименте осуществлялся без гистерезиса, указанные бифуркационные линии Ikі и /кр в пределах точности измерений совпадали как при движении по параметру
P н с . 8.1. Экспериментальная бифуркационная диаграмма режимов колебаний в генераторе; lki - линии удвоения. кКр -линия критических значений параметров. Заштрихованные области соответствуют хаосу, незаштрихованные - отвечают мно-готактным устойчивым цик.іам
2.S
2,0
1,5
1.0
0.1 0.г 0.3 0,4 .7
1SS P и с. 8.2. Виц фазовых траекторий в проекции на плоскость переменных х,у (а) и соответствующие зависимости процессов X (t) (б) при переходе к хаосу через нослеловательность бифуркаций удвоения периода (физический эксперимент)
т иверх. так и вниз. Заметные превышения над порогом приводили к жестким переходам в режимы колебаний периода р ¦ 2*7о (р = 1, 2, 3,..., к = 1, 2, 3,...). которые чередовались с зонами странных аттракторов отличающейся структуры (183J. Б этой области типичным было явление гистерезиса и данные рис. 8.1 отражают картину смены режимов при движении по параметру т в сторону его увеличения. Свойства системы при значительных превышениях над порогом стохастичности обсудим в следующих разделах, а здесь сосредоточим внимание на переходе к хаосу через серию бифуркаций удвоения,
Ma рис. 8.2 дана серия фотографий режимов колебаний, иллюстрирующая бифуркации удвоения 2T0 — 4F0 -*¦ 87*0 и вид странного аттрактора вблизи критической точки. Результаты эксперимента соответствуют значению g = 0,2 и различным т. Однотактный цикл, предшествующий первому удвоению, на рис. 8.2 не показан. Фотографии отражают эволюцию временных реализаций x(t) и проекций фазовых траекторий на плоскость переменных X, у для различных значений т. Качественная картина перехода весьма наглядна. Для выяснения количественных закономерностей приведем результаты следующих численных и физических экспериментов.
Зафиксируем значение параметра g = 0,2 и построим на ЭВМ бифуркационное дерево ветвления амплитуд устойчивых циклов при движении по параметру т. С этой целью введем в фазовом пространстве системы секущую поверхность условием у = 0и будем регистрировать координату х на секущей, двигаясь но параметру т. На рис. 8.3 результаты расчетов показаны сплошными кривыми. Установив значение g = 0.2 в физическом эксперименте, произведем измерение амплитуд колебаний переменной дг (П. Нормированные результаты для сравнения нанесены на рис. 8.3 штриховыми кривыми.
