Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка):
м( о-
/«(«) - (1 -<7)-Чп( S tf). (6.63)
/ = і
Определение корреляционной размерности (6.62) отвечает случаю q = 2. Корреляционную размерность можно представить в виде
Dc = Iim [1пС(е)/1пе], (6.64)
t - о
С(е) - Um Hj2 t Є[е - і*, -лг/І], (6.65)
и, - - l.i = I
где
е(е -1*,—1> = H "-1"
' [О дня 1*, - луї > е,
Xi - вектор изображающей точки в фазовом пространстве. Таким образом, размерность Dc определяется значением корреляционного интеграла С(е), характеризующим относительное число пар точек X1, xj, удаленных на расстояния dfj * \xt - Xj \ < е.
Для расчета корреляционного интеграла С(е) и, следовательно, корреляционной размерности Dc необходимо вычислить все расстояния dfj и подештать число пар точек л(е), для которых dfj <е. Тогда корреляционный интеграл
С (є) = п (с)/я о • (6.67)
Расстояния dfj вычисляются значительно быстрее с учетом реализуемого в ЭВМ представления чисел с плавающей запятой [171].
Приведенные алгоритмы расчета фрактальной, информационной и корреляционной размерностей аттрактора свидетельствуют, что для вычислений необходимо иметь множество точек, определенных в фазовом пространстве размерности N и принадлежащих аттрактору. Число точек п0 в расчетах конечно, но обязано быть достаточно большим. Задача вычисления размерностей для случаев, когда динамическая система задана (либо дискретным оператором отображения, либо системой диффереи-
133циальных уравнений), принципиальных трудностей не содержит и при достаточной памяти и быстродействии ЭВМ реально разрешима.
Однако часто требуется вычислить размерность аттрактора некоторой реальной системы, математическая модель которой неизвестна. При этом, как правилі», неизвестна (даже приближенно) размерность ее фазового пространства. Экспериментатор располагает в этой ситуации информацией о поведении во времени какой-либо одной из динамических переменных (например, зависимостью от времени тока или напряжения, давления или скорости и т.д.). К тому же и интервал времени экспериментальной реализации процесса естественно ограничен. Можно ли при таких условиях получить оценку размерности аттрактора?
Путь к решению этой проблемы был предложен Ф. Такенсом- В (172) доказано, что почти для всех гладких динамических систем по имеющейся временной реализации одной наблюдаемой динамической переменной можно сконструировать новое многообразие, основные свойства которого (размерность, в частности) будут такими же, как у исходного.
Пусть экспериментальному измерению доступна некоторая зависимость X(г), которая дискретизируется с интервалом по времени At. В результате получаем последовательность чисел X(I1), где tf - t0 + iAr. Такенсом предложено по этой последовательности строить множество »n-мерных векторов у і Є IRm, которые вводятся так:
(*/, X1+т, *,+ 2т. •••*/ + (т - 1)т). */ ¦ *('А Г " к At. (6.68)
Время дискретизации At исходной реализации называется временем выборки, время г в (6.68) - временем задержки, а число m- размерностью вложения. Основной результат Такенса состоит в следующем. Если временная реализация x(t) представлена в виде бесконечной последовательности чисел {*/) , то бесконечное множество векторов V, Є Є Rm задает вложение исходного многообразия почти при любом выборе наблюдаемой переменной, если m не меньше удвоенной размерности исходного многообразия.
Восстановленное таким образом »n-мерное многообразие является реконструкцией исходного многообразия, в которое был вложен интересующий нас аттрактор. Применительно к этой реконструкции можно вычислять любую из введенных выше размерностей, что должно дать в результате оценку размерности реального исследуемого аттрактора. Кроме того, становится разрешимой и задача реконструкции фазового портрета аттрактора или его проекций (168. 171, 173. 174].
Как уже указывалось, в реальном эксперименте временная реализация представляется конечной последовательностью чисел x(tt), а размерность фазового пространства исходной системы остается неизвестной. С целью уменьшения ошибки, обусловленной конечностью набора экспериментальных точек, необходимо производить расчеты при нескольких различных значениях я0 и m и добиваться в численном эксперименте независимости полученной оценки размерности от п0 и «ті в пределах заданной точности. Так как для малых времен выборки At значения X1 и л, + і будут близкими, большое значение приобретает правильный выбор времени задержки г. Необходимо стремиться выбрать г так, чтобы корреляция между X1 HJtlIt была по возможности минимальной. Bpe-
134мя т приближенно можно оценить с помощью автокорреляционной функции vJrr (т) или определив минимум взаимной информации между измерениями [174, 1751.
Отметим также, что оценку размерности аттрактора можно получить, рассчитывая спектр ЛХП траектории на аттракторе, с помощью определения Канлана-Йоркс (4.28). Здесь не требуется новых алгоритмов,
вся информация дается результатами расчета спектра ЛХП.
***
Гл. 6 завершает изложение общих сведений по теории динамических систем, описание основных характеристик стохастичности и бифуркационных механизмов рождения странных аттракторов, а также алгоритмов и численных методов исследования хаоса. Содержание первой части книги в равной степени является базовым для любых естественнонаучных задач, сводящихся в итоге к исследованию хаотических решений соответствующих эволюционных уравнений.