Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Проведем о;июцарамстрнческое исследование эволюции родившегося семейства циклов [°о(п2, ?) с целью нахождения точек характерных бифуркаций. Обследуем различные сечения плоскости параметров т и ^,фиксируя первый из них и осуществляя расчеі цикла и его мультипликаторов при вариации второго.
Расчеты показывают, что исследуемому семейству циклов Г0(/м. g) присуши следующие бифуркации: а) наибольший по модулю мультипликатор Pi в бифуркационной точке обращается в -I. что соответствует би фуркации удвоения періиїда колебаний; б) мультипликатор р, цикла Г0 принимает значение +1, что соответствует слиянию и исчезновению (или рождению) устойчивого и неустойчивого циклов: в) имеют место случаи, когда произведение мультипликатора цикла с изменением параметра удовлетворяет условию ІРіР:і= 1.
10*
147 P и с. 7.S. Бифуркационная диаграмма для семей-ства 1-тэктчых циклов системы (7.38); /,, - линия удвоения периода,/,, - линия кратности,/„, -линия нейтральности, А,. At и Q - точки биф>рка-ций коразмерности 2
Рис. Т.Ч. Кччественный виц зависимости мультипликатор« р, (ю) для цикла Cll в сечейии # ¦ gt. KpHiiPiJCKite точки 8. С, UhF соответствуют указанным на рис. /.8
Последнее условнс назовем условием нейтральности, так как оно отвечает обращению в нуль суммы ляпуновских показателей шпела Го: X і + Xj »0. Ucjih при этом мультипликаторы комплексно-сопряженные, то реализуется бифуркация рождения двумерного тора. Для действительных .мультипликаторов P1 и P1 бифуркационной ситуации здесь нет, цикл седловой. Для семейства циклов Г0(т, g) отмечены оба сіучая, т.е. бифуркация рождения тора в системе (7.38 ) имеет место!
Определив особыс точки по параметрам, отвечающие интересующим нас бифуркациям циклов Г0(т, g), приступим к двупараметрическому анализу - построению бифуркационных линий и пространстве параметров. На рис. 7.8 приведена бифуркационная диаграмма для семейства 1-тактных циклов Го> рождающихся в результате бифуркации Андронова - Хопфа. На линии I01 один из мультипликаторов цикла обращается в -I (линия бифуркации удвоения периода). Внутри области.ограниченной линией /01. цикл Го седловой, вне линии /01 он устойчив, так как оба ею мультипликатора принадлежат внутренности единичного круга. На линии /0г Pi =+1. Здесь происходит слияние ;< последующее исчезновение устойчивого и седлового циклов. Либо, если двигаться по параметрам в противоположном направлении, из сгущения траекторий рождается пара циклов. Линию I01 далее будем называть линией кратных циклов или линией кратности. Внутри области, ограниченной линиек кратности, существует всегда три і-такт-ных цикла: седловой Го и два никла Го и Го, которые могут быть устойчивыми или седловыми.
Ситуацию поясняет рис. 7.9, где качественно изображена рассчитанная зависимость наибольшего из мультипликаторов цикла pt при движении
148 по параметру т для фиксированного g0, указанного на ріс. 7.8. В точке C іюждается пара циклов Го н rJJ, в точке F сливаются и исчезают циклы T0 и Го. в точке В цикл Г0 претерпевает бифуркацию удвоения периода, становится седповым, но в точке D он вновь обретает устойчивость *). Ситуация описана при условии движения по параметру т в сторону его увеличения. Характерные точки особенностей В, С, D и F нанесены н на рис. 7.8.
Линия кратности I01 образует характерный уголок с вершиной в точке Q, где спиваются в один все три цикла Г0, Го и Г<|. Точка Q является бифуркационной и имеет коразмерность 2. В теории катастроф эту точку называют точкой сборки. Наличие сборки отвечает простейшей и наиболее часто встречающейся катастрофе в многопараметрических системах и единственно возможной катастрофе в двупараметрических системах общего положения [48, 49]. Взаимосвязь катастрофы сборки и динамики исследуемой системы обсудим ниже.
На рис. 7.8 изображен участок бифуркационной линии /0з. некотором выполняется условие нейтральности цикла Г0: IPiP11 = 1. Строго бифуркационной линия I03 является на участке от точки A1 по A1. где мультипликаторы цикла комплексно-сопряженные и выходят на единичный круг. ВточкахЛ| и А 2 оба мультипликатора равны либо -1 (точка /Ij), либо +1 (точка А,), что отвечает резонансам 1/1 (At) и 1/2 (/42). Как и точка Q, бифуркационные точки Ai и A1 имеют коразмерность 2. В них, помимо условия выхода пары мультипликаторов на единичный круг, удовлетворяются условия резонансов. Как показали расчеты, бифуркация рождения тора из цикла Г0 субкритическая. Режим устойчивых биений в автономной системе (7.38) не найден. Дв улара метрический анализ характера устойчивости однотактных циклов системы можно на зтом закон'їить. так как определены типичные бифуркации и построена соответствующая диаграмма на плоскости (рис. 7.8).
При подходе К ЛИНИИ удвоения I01 снизу цикл Г0 устойчив не в малом (первая ляпуновская величина в особой точке строго отрицательна). Значит, пересечение ЛИНИИ I0I приведет к мягкому рождению устойчивого цикла Г|, период которого В линейном приближении ВДВОЄ больше (Г| ^ 2Г0). Взяв в качестве начального приближения точку на цикле Г0 вблизи то>1ки бифуркации удвоения, будем искать цикл Г|, который характеризуется двупериодической неподвижной точкой в отображении Пуанкаре. Сместившись по параметру за бифуркационную линию I0i, численным интегрированием определим цикл Г|, который действительно устойчив, имеет близкий к удвоенному период и в фазовом пространстве дважды обходит 1-так гный цикл, потерявший устойчивость.
