Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Рис. 7.10 иллюстрирует сказанное для значения g - ОД. Ниже точки бифуркации m* = 0,966... в системе устойчив цикл Г0, показанный на рис. 7.10 для т 0,5. Выше но параметру (m>m*) устойчивым является цикл удвоенного периода Г]; цикл Г0 становится сецловым и изображен на рис. 7.10 штриховой линией.
Подобные і ki счсты, требующие переходов п точках Си Р-н? неустойчивые циклы, неіривналміьі. но воіможньї при соответствующей модификации алгоритмов вычисления мультипликаторов пиклов. Обычное интегрирование приводит здесь к ног-.-рс цикля и х.ч-сткой смене режимов [511.
149 -t C і -Z-IOlc Л-
o
Рис. 7.10. Бифуркаши удвоения 1-такпюго цикла. Проекции фазовых траекторий па плоскости переменныхх.у (л) их.2 (0)
P и с. 7.11. Бифуркационная диаграмма для -ечсйсгва 2-тактных циклов Г] (»I. J?); /Кр - линия критических значений параметров, пересечению коїхфой отвечает переход к хаосу
Приведем аналогичным образом однппараметрическое. а затем и двуна-раметрическое исследование семейства 2-тактных циклов Гi(m,g). Бифуркационный анализ показывает, что характер бифуркаций и структура взаиморасположения соответствующих бифуркационных линий на плоскости параметров для циклов Г( удвоенного периода полностью повторяет картину для 1-тактных циклов (рис. 7.9) с той лишь разницей, что обнаруживаются два самостоятельных семейства 2-тактных циклов Г| и Г? [12-14, 189)..
На рис. 7.11 изображена бифуркационная диаграмма одного из семейств циклов І*} (ш, #), подтверждающая сказанное выше. Наличию двух се-
150 мсйств 2-тактных циклов отвечает зависимость мультипликатора от параметра т в виде двух петель в отличие от одной петли для циклов периода Го- Расчеты свидетельствуют, что внутри каждой из областей, ограничиваемых бифуркационными линиями удвоения периода циклов Г|(/л. я) и Г?('п> g), имеются по два самостоятельных семейства 4-тактных циклов [189]. Можно полагать, что иерархия размножения семейств циклов продолжается до бесконечности, их бифуркационные диаграммы являют собой систему топологически эквивалентных вложенных структур. которым отвечают универсальные свойства, обобщающие закономерности подобия тина Фейгенбаума на случай двух параметров. Для циклов Г\ периода Tk =* 2kTa, к » 0, 1, 2 и частично для Jfc * 3. это проверялось экспериментально и качественно подтвердилось. Количественные закономерности установить трудно, так как с этой целью необходимо численно анализировать циклы достаточно больших периодов и с высокой степенью точности. Эту задачу удобнее рассматривать применительно к двуиарамет-рическим двумерным модельным отображениям [190].
Наглядное представление о сложности разбиения фазового пространства на различные типы траекторий в относительно простой системе (7.38) дает геометрическое изображение полученных результатов. Введем в рассмотрение комбинированное трехмерное пространство, в котором изобразим графически зависимость ? = ? (m,g), где под ? будем понимать одну пз координат неподвижной точки в сечении Пуанкаре для цикла. К примеру, если ввести в W3 системы (7.38) секущую плоскость JC « 0, то под ? можно понимать координату г двумерного отображения на секущей.
Расчеты показывают, что геометрическим местом точек, отвечающим устойчивым и неустойчивым циклам Г0(гл,?) системы, является сложная двумерная поверхность S0 в указанном пространстве, изображенная на рис. 7.12. Поверхность S0 для ? > 0 выходит из линии рождения цикла Г0 к имеет две складки и сборку. На рис. 7.12 для наглядности дан разрез поверхности S0 плоскостью g - go- Внутри области между точками С и F имеются три листа поверхности, которые соответствуют циклам Г0 (верх-
F
Рис. 7.12. Геометрическая трактовка критических явлений в системе (7.381; точки особенностей те же. что и на рис. 7.8 и 7.9
151 нин лист), Го (нижний лист) и Го (внутренний лист). Проецирование сложной поверхности на плоскость параметров т и g благодаря наличию складок дает линию особенности /0і. состоящую из верхней и нижней ветвей, пересекающихся в точке Q. С движением по параметру т (g =g0) неизбежно связано явление гистерезиса, обусловленного "Перескоками" в точках F (если двигаться по m снизу) и С (при движении по m сверху). В теории катастроф эти жесткие переключения хорошо известны и составляют, собственно, сам эффект катастрофы сборки. В двупараметрических семействах, кроме складки и сборки, никаких особенностей при проецировании поверхности па плоскость быть не может.
Таким образом, бифуркационная линия кратности I0i на диаграмме рис. 7.8 обязана своим происхождением наличию складок и сборки у поверхности 5°. Каково происхождение бифуркационной линии удвоения /0|? Если анализировать только однотактпые циклы T0. то эта линия соответствует проекции соответствующей линии на поверхности 5°, отвечающей критическим значениям амплитуд цикла, когда мультипликатор принимает значение -I. Учитывая, что при этом мягко рождается цикл удвоенного периода Г|, па рис. 7.12 намечена поверхность Sо. которая пересекает поверхность S0 по линии удвоения. Проекция линии пересечения поверхности Sq с S0 на плоскость параметров m и g даст бифуркационную линию I01. Катастрофы в окрестности этой лииии не происходит, так как переход от одного устойчивого режима к другому устойчивому происходит мягко.
