Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Последующие главы книги посвящены исследованию динамики конкретных радиофизических систем с хаотическим поведением, но полученные в них результаты в большинстве своем носят принципиально общий характер, базируясь на фундаментальных выводах теории динамических систем.
Материал первой части служит методологической основой проведения экспериментальных исследований, освобождая нас от необходимости пояснения ряда деталей эксперимента. Предоставляется возможность сосредоточиться на анализе результатов эксперимента с целью выявления закономерностей общею характера. ГЛАВА 7
МОДИФИКАЦИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГЕНЕРАТОРА С ИНЕРЦИОННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ. БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ РЕГУЛЯРНЫХ РЕЖИМОВ КОЛЕБАНИЙ
7.1. Обобщенные уравнения генераторов с полутора степенями свободы
Автономные системы с трехмерным фазовым пространством наиболее просты среди динамических систем с хаотическим поведением. Эта простота относительна и должна пониматься в том смысле, что теоретический, численный и экспериментальный анализы динамики трехмерных систем проще в сравнении с анализом многомерных и тем более распределенных систем. В таких системах сравнительно нетрудно найти характерные гомоклиническис траектории и изучить типичные бифуркации в их окрестности с использованием теоретических и экспериментальных методов. В то же время динамика систем, реализующих тот или иной тип гомоклиники, подчиняется закономерностям общего характера.
Интересны автономные динамические системы, описывающие генерацию хаотических колебаний в моделях размерности N = 3, т.е. генераторы с 1.5 степенями свободы. Введем наиболее общие уравнения таких систем, исходя из результатов, известных применительно к генераторам с 1 степенью свободы, фазовое пространство которых - плоскость. В общем виде автоколебательные системы на плоскости описываются уравнением
* + <р(х,ц)х + ц) = 0, (7.1)
где x — неременная, совершающая периодические колебания, ~ц = = (ді, /J2 ,••, ?k) - совокупность управляющих параметров, ц) и ^(.y, ц) — нелинейные функции, характеризующие действие сил, обеспечивающих возможность автоколебаний.
Уравнение (7.1) можно обобщить на определенный класс систем с 1,5 степенями свободы. Рассмотрим радиотехническое устройство, блок-схема которого изображена на рис. 7.1. Штриховой линией выделена основная часть генератора, состоящего из усилителя 1, селективного элемента (колебательный контур, резонатор или мост Вина, к примеру) и цепи положительной обратной связи. При выполнении соответствующих амплитудных и фазовых условий в таком генераторе возникают автоколебания, описываемые уравнением (7.1).
136 Рассмотрим дополнительную цепь обратной связи, которая осуществляет инерционное преобразование воздействующей переменной x(f) в отклик Z(г), управляющий параметрами усилителя и селективного элемента основного генератора. Уравнения полной системы (рис. 7.1) можно записать как ж + F1 (X, г, »)х + Fj (X, г, ц) = О,
i = F3(x.z.b (72)
Здесь Ft- в общем случае нелинейные функции. Фазовая переменная 7(г) в (7.2) связана с переменной х(г'), совершающей колебания, посредством дифференциального оператора 1-го порядка. Если взаимосвязь отклика z(t) на воздействие переменной х(г) безынерционна, т.е. описывается алгебраическим полиномом типа
г = 2 CnXn = ), (7.3)
n « О
го уравнения (7.2) просто сводятся к уравнению (7.1). Если же переменная г зависит от х инерционным образом, т.е. задается дифференциальным уравнением 1-го порядка (в простейшем случае), то уравнения (7.2) описывают процессы колебаний в трехмерном фазовом пространстве и являются обобщением уравнения (7.1) на этот случай.
Известные динамические системы, моделирующие колебания в генераторах с 13 степенями свободы, допускают форму записи вида (7.2) исключением третьей переменной и при необходимости введением гладких замен масштабов координат и времени. Эту процедуру назовем сведением к обобщенным уравнениям (7.2), представляющим собой математическую модель нелинейного автоматически регулируемого осциллятора.
Рассмотрим несколько примеров. O.E. Рёсслером предложена следующая математическая модель [155]: і = ~(у + г), Z = -CZ + Ьх + XZ.
^ (7.4)
V = * + ay, dixF = а - с + X.
Дифференцируя по времени первое уравнение и исключая из (7.4) переменную у, получаем
(7.5)
х~ ах + + [(1 + Ь + z)x -- (a + c)z] = 0. Z = -CZ + faг + xz.
Эта система вьпекает из (7.2) при соответствующем задании функций Fi (jc, z. Д).
Рис. 7.1. Блок-схема инерционного самосогласованного воздействия на основные элементы классического і-снсратора
Селективный элемент X Усилитель 1
г
137 В [21. 177. 178] исследуются уравнения релаксационного генератора X = 2/1* + у - gz. У = -х, ЦІ « X - f(z). f(z) = Z3 - г. divF = 2А - (2zJ + І №. которые простым преобразованием тоже сводятся к виду (7.2): if 2Л.г +(1+ g/ц)X - gf (г)1ц = О, і - [X -f(z)\ln.
Рассмотрим известную систему уравнений Лоренца [26. 2]: X = a(v - х\ у - —V - хи + гх. й - ~bu + ху,
(7.8)
divF = —(<7 + Ь + I). Исключив из (7.8) переменную >\ придем к уравнениям І? + (1 + о)х + о(1 - г + и)х = 0. й = -bu + .If1 + XX/и.
