Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Dr- = 2 + Х,/| Х3|, Х,>0>Х3. (4.23)
Здесь учитывается, что непрерывной траектории соответствует один нулевой показатель в спектре ЛХП.
ы> Ляпуиовские показатели спектра ЛХП, являясь усредненными характеристиками аттрактора, описывают его свойства независимо от начальных условий из области притяжения. Исключением являются начальные данные, отвечающие неподвижным точкам, циклам и двоякоасимптотическим траекториям типа петель сепаратрис, имеющим отличающиеся ляпуновские показатели, а также траекториям, для которых спектр ЛХП вообще не определен. Полагается, что такие траектории имеют меру нуль (являются нетипичными), и это подтверждается численными экспериментами.
Определенные трудности возникают при теоретическом обосновании взаимосвязи фрактальной размерности со спектром ЛХП для многомерных (/V > 3) систем, в которых степень сжатия фазового объема зависит or координат. Сейчас многими принята гипотеза Каплана - Йорка, в соответствии с которой размерность аттрактора, называемая ляпуновской, выражается через спектр ЛХП на основе следующих соображений (70, 11, 12]. Пусть известен спектр ЛХП странного аттрактора .^мерной системы, размерность которого нужно оценить:
X1 > X2 > ... > (4.24)
Сумма всех показателей спектра отрицательна в силу диссипативности системы. Рассмотрим первые / показателей спектра ЛХП, где / - наибольшее число, удовлетворяющее условию
X1 +X2 + ... + Xy > 0. (4.25)
В указанное число показателей включены все положительные, все нулевые и некоторая часть отрицательных, чтобы сумма оставалась неотрицательной. Поскольку сумма показателей залает характер локального изменения элемента фазового объема в аттракторе, то фазовый объем размерности І < Nв среднем не уменьшается. Увеличение размерности подпространства на единицу приведет в среднем уже к сжатию элемента объема:
і * і
2 л, < о. (4.26)
/= і
Значит, можно предположить, что размерность аттрактора заключена в интервале / <Dl < } + I. Разумно потребовать, чтобы движение на аттракторе подчинялось условию, отвечающему физическим представлениям о стационарности процесса,
X1 +X2 + ... + U Xj + і =0, (4.27)
где <У - дробная часть размерности. Полная размерность аттрактора Dl, называемая ляпуновской, будет суммой целой / и дробной d частей:
I
Oi -/+</-/ + ( S X1)/1 X, ¦ , (. (4-28)
В случае трехмерного пространства из (4.28) однозначно следует (4.23). Это любопытно и вот почему. Ляпуновская размерность по определению (4.28) зависит от типичной траектории x(t), для которой определяется спектр ЛХП, и тем самым автоматически учитывает вероятностные свойства потока. Выражение (4.23) получено из определения размерности (4.19).
5»
67 т.е. непосредственным покрытием множества с заданной метрикой, бет учета вероятностных свойств различных его элементов. Таким образом, фрактальная и лялуновская размерности аттрактора в IF' совпадают по крайней мере для систем с постоянной степенью сжатия. Этому имеется и экспериментальное подтверждение [77].
Дня многомерных динамических систем вопрос о соответствии Ляпунов-ской размерности размерностям натуральной меры и фрактальной пока еше открыт. Однако есть основания полагать, что ляпуновская размерность, как наиболее попятная с физической течки зрении величина, является самостоятельной и важной характеристикой аттрактора. В отличие от фрактальной ляпуновская размерность многомерных аттракторов допускает возможность ее прямого вычисления при больших, но реально допустимых затратах времени на ЭВМ
В неавтономных системах при периодическом внешнем воздействии выражение (4.28) можно применить для описания размерности стохастического множества в отображении Пуанкаре через период внешней силы. Для вычисления полной ляпуновской размерности аттракторов неавтономных систем в выражение (4.28) нужно добавить единицу (или еше один нулевой показатель в спектр ЛХП). тогда
і
/),.=/+1+( S X1-)/1 • (4.29)
і = і
Различия в сигнатуре спектров ЛХП и размерность Dl могут быть признаком классификации регулярных и странных аттракторов. Размерность регулярных аттракторов равна числу нулевых показателей в спектре ЛХП. Ляпуновская размерность точки, предельного цикла и двумерного тора равна 0. 1 и 2 соответственно. Дія регулярных аттракторов в полном соответствии находятся: ляпуновская размерность, фрактальная (метрическая) размерность и сигнатура спектра JlXII аттрактора. В отношении странных аттракторов о подобном взаимосоответствии можно говорить лишь применительно к трехмерным дифференциальным системам и двумерным обратимым отображениям.
Рассмотрим геометрическую структуру одного из типичных странных аттракторов, реализующихся в трехмерных дифференциальных системах*), на примере которого можно продемонстрировать содержательную сторону понятий дробной размерности и масштабной инвариантности. Аттракторы зтого типа возникают в результате каскада бифуркаций удвоения периода.
Пусть задана трехмерная динамическая система, в которой реализуется аттрактор указанного типа. Выберем в качестве начальных данных отрезок (линию) AB, все или почти все точки которого принадлежат аттрактору, и проследим за его эволюцией во времени. Картина геометрического преобразования отрезка AB нелинейным потоком во времени изображена на рис. 4 3. На очень малых временах (рис. А.За) изменений практически нет. Граничные точки отрезка AB переходят в А' и В' соответственно. Далее
